"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Касательная к окружности — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Её положение связано с радиусом: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это свойство помогает отличать касательную от секущей, находить углы и решать задачи на длины. Также работает обратное правило: прямая, перпендикулярная радиусу в точке окружности, касается окружности именно в этой точке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Прямая, которая не пересекает окружность, не имеет с ней общих точек, а секущая пересекает окружность в двух точках. Число общих точек помогает сразу определить, как расположена прямая, даже если на чертеже это не очень заметно.
Единственная общая точка касательной и окружности называется точкой касания. На чертеже её обозначают заглавной буквой, например A; окружность касается прямой l в точке A. Такое обозначение позволяет точно указать место, к которому относятся свойства касательной, и отличить точку касания от других точек на прямой.
Радиус, проведённый в точку касания, — отрезок от центра окружности до этой точки. Если O — центр, а A — точка касания, такой радиус обозначают OA. Именно он перпендикулярен касательной: поэтому в задачах отрезки OA и касательной помогают распознать прямой угол и применить свойства прямоугольного треугольника.
Расположение прямой относительно окружности можно определить по расстоянию от центра до прямой. Расстоянием считают длину перпендикуляра, опущенного из центра на прямую: он показывает, насколько близко прямая проходит к окружности. Если это расстояние больше радиуса, прямая проходит снаружи; если меньше — проходит через внутреннюю часть круга и пересекает окружность в двух точках. Когда расстояние равно радиусу, прямая касается окружности.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Перпендикуляр из центра к прямой является кратчайшим отрезком от центра до неё, а при касании это расстояние равно радиусу окружности. Конец такого радиуса лежит на окружности и одновременно на прямой, поэтому он и есть точка касания. Рассматривают именно этот радиус, потому что он соединяет центр с общей точкой прямой и окружности.
Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу OA, то она является касательной в точке A. Почему это так? Расстояние от центра до прямой в этом случае равно OA, потому что OA — перпендикуляр; длина OA равна радиусу. Значит, прямая расположена от центра на расстоянии, равном радиусу, и имеет с окружностью одну общую точку.
Чтобы распознать касательную на чертеже, сначала проверь, лежит ли предполагаемая точка касания на окружности. Затем выясни, перпендикулярна ли прямая радиусу, проведённому именно к этой точке: если да, применяй обратное утверждение. Если касание уже дано, сразу отмечай прямой угол между радиусом и касательной. А когда требуется длина, ищи прямоугольный треугольник и используй теорему Пифагора, не забывая определить, какая сторона является гипотенузой.
Нельзя провести радиус, перпендикулярный касательной, из любой другой точки этой прямой и считать его радиусом к точке касания. Из центра к прямой можно опустить только один перпендикуляр, а его основание при касании и есть точка касания. Если бы другая точка прямой тоже лежала на окружности, у прямой оказалось бы две общие точки, и она стала бы секущей, а не касательной.
| Положение прямой | Число общих точек с окружностью | Связь расстояния от центра до прямой с радиусом |
|---|---|---|
| Прямая не пересекает окружность | 0 | Расстояние больше радиуса |
| Касательная | 1 | Расстояние равно радиусу |
| Секущая | 2 | Расстояние меньше радиуса |
Чтобы воспользоваться таблицей, найди расстояние от центра до прямой и сравни его с радиусом. Равенство означает касание, а неравенства помогают отличить касательную от двух других случаев. Число общих точек служит проверкой результата.
Радиус OA проведён к точке A окружности. Прямая l проходит через A и перпендикулярна OA. Определите, как расположена прямая l относительно окружности. Здесь точка A заведомо лежит на окружности, а условие о перпендикулярности связывает прямую с радиусом к этой точке. Поэтому подходит обратное утверждение о касательной.
Оба необходимых условия выполнены, поэтому искать дополнительные точки пересечения не нужно. Ответ: прямая l является касательной к окружности в точке A.
Прямая касается окружности в точке A. Найдите угол между этой прямой и радиусом OA, если O — центр окружности. Поскольку прямая уже названа касательной, точка A является точкой касания. Значит, можно сразу применить свойство радиуса, проведённого в точку касания.
Это свойство задаёт угол независимо от размера окружности и положения чертежа. Ответ: угол между прямой и радиусом OA равен 90°.
Из точки A окружности проведена касательная l. На прямой l отмечена точка B так, что AB = 8 см; радиус окружности равен 6 см. Найдите OB. Точка A — место касания, поэтому радиус OA перпендикулярен прямой l и отрезку AB. Треугольник OAB прямоугольный, а OB — сторона напротив прямого угла, то есть гипотенуза.
Берём положительный корень, поскольку OB — длина отрезка. Ответ: OB = 10 см.
Ошибка: называть касательной любую прямую, имеющую с окружностью общую точку. Так путают касательную с секущей, потому что обе линии пересекают окружность. Проверь число общих точек: у касательной одна, у секущей две.
Ошибка: проводить перпендикуляр из центра к касательной в произвольную точку прямой и считать его радиусом к точке касания. Теорема относится только к радиусу, конец которого лежит в точке касания. На чертеже сначала отметь общую точку окружности и прямой, а затем проведи радиус именно к ней.
Ошибка: считать, что перпендикулярность радиуса и прямой сама по себе доказывает касание. Перпендикуляр может быть проведён к прямой через точку, которая не лежит на окружности, поэтому условие неполно. Для доказательства проверь оба факта: точка принадлежит окружности, а прямая проходит через неё и перпендикулярна радиусу.
Ошибка: путать прямой угол между касательной и радиусом с углом между касательной и хордой. Хорда соединяет две точки окружности, но не является радиусом, и нужная теорема к ней напрямую не относится. Проверь, что один из лучей угла — именно радиус к точке касания; только тогда можно уверенно указать 90°.
Для работы с касательной нужны определения окружности, её центра и радиуса, а также понимание перпендикулярных прямых. В задачах на длины используются свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора: радиус и отрезок касательной образуют его катеты. Эти знания пригодятся при построениях циркулем и линейкой и при решении задач о касательных, проведённых из одной точки.
Чем касательная отличается от секущей?
Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, а секущая пересекает её в двух точках. Если общих точек нет, прямая не пересекает окружность.
Как определить точку касания на чертеже?
Это единственная общая точка касательной и окружности. Обычно её обозначают заглавной буквой, например A, а радиус, проведённый к ней, записывают как OA.
Почему радиус перпендикулярен касательной?
Кратчайшее расстояние от центра до прямой задаётся перпендикуляром. Если прямая касается окружности, это расстояние равно радиусу, поэтому перпендикуляр приходит в точку касания и совпадает с радиусом к ней.
Достаточно ли перпендикулярности, чтобы доказать, что прямая — касательная?
Одной перпендикулярности недостаточно: нужно знать, что прямая проходит через точку окружности, к которой проведён радиус. Если оба условия выполнены, по обратному утверждению прямая является касательной.
Как найти длину отрезка, соединяющего центр окружности с точкой на касательной?
Радиус к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому вместе с отрезком до выбранной точки он образует прямоугольный треугольник. Длину нужного отрезка находят по теореме Пифагора, зная два других элемента.
69. Касательная к окружности
