§ 53. Теорема косинусов

Определения и обозначения

Теорема косинусов — это связь квадрата одной стороны треугольника с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними. Для угла A её записывают так: a² = b² + c² − 2bc cos A. Формула позволяет найти сторону, когда известны две другие стороны и угол между ними, или найти угол по трём сторонам.

Противолежащая сторона — сторона, лежащая напротив рассматриваемого угла и не образующая его. В записи a² = b² + c² − 2bc cos A это сторона a: она находится напротив угла A. Такое обозначение помогает не перепутать, квадрат какой стороны нужно поставить отдельно в левой части формулы.

Прилежащие стороны — две стороны, которые образуют рассматриваемый угол. Для угла A это стороны b и c, поэтому именно они стоят в произведении 2bc. Чтобы правильно применить теорему, сначала найди эти стороны на чертеже или по условию, а затем проверь, что угол действительно расположен между ними.

Косинус угла треугольника — числовая характеристика угла, которая показывает его связь со сторонами в теореме косинусов. Для острого угла косинус положителен, для прямого равен нулю, а для тупого отрицателен. По значению косинуса можно не только вычислять сторону, но и определять величину угла.

Как это устроено

В формуле a² = b² + c² − 2bc cos A квадрат стороны a связан с квадратами сторон b и c. Сторона a лежит напротив угла A, а стороны b и c образуют этот угол. Поэтому угол в формуле нельзя выбирать отдельно от сторон: если меняется рассматриваемый угол, меняется и сторона напротив него.

Дополнительное слагаемое −2bc cos A появляется из-за того, что при наклонном положении стороны её часть направлена вдоль другой стороны. Эту часть называют проекцией: она показывает, насколько сторона «продолжается» в направлении основания. Умножение длин b и c на косинус угла учитывает влияние этой проекции, а множитель 2 возникает при раскрытии квадрата суммы в рассуждении с теоремой Пифагора.

Вывести формулу можно, опустив из вершины угла A высоту на сторону b. Высота и отрезок, на который она делит сторону, образуют прямоугольные треугольники, поэтому для них подходит теорема Пифагора. Проекция стороны c на направление стороны b равна c cos A, а высота связана с этой стороной через прямоугольный треугольник; после подстановки выражений и раскрытия квадрата получается a² = b² + c² − 2bc cos A.

Если угол A острый, его косинус положителен, а проекция направлена в сторону продолжения основания. Если угол тупой, косинус отрицателен и проекция оказывается направленной в противоположную сторону; поэтому в вычислении вычитается отрицательное число. Рассуждение с проекцией и квадратами сохраняется в обоих случаях, так что теорема подходит и для острых, и для тупых углов.

Из основной формулы можно выразить косинус угла: cos A = (b² + c² − a²) / 2bc. Эту запись используют, если известны три стороны и нужно найти угол. Если требуется другая сторона, можно переставить буквы: например, b² = a² + c² − 2ac cos B; выбирай формулу так, чтобы нужная сторона была напротив рассматриваемого угла.

Варианты применения теоремы косинусов

Сначала определи, что нужно найти, и подбери соответствующую строку таблицы. Проверь, что в выбранной формуле угол расположен между двумя сторонами, которые стоят в ней вместе. Если ищешь косинус, после подстановки можно определить сам угол.

Разбор задач

Найти третью сторону по двум сторонам и углу

В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Нужно найти третью сторону. Поскольку дан именно угол между известными сторонами, используем теорему косинусов, а третья сторона будет противолежащей ему.

1. Обозначим искомую сторону через a, а известные стороны — через b = 5 и c = 7. Запишем формулу: a² = b² + c² − 2bc cos A.
2. Подставим значения и вспомним, что cos 60° = ½: a² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · ½ = 25 + 49 − 35 = 39.
3. Длина стороны положительна, поэтому извлекаем положительный квадратный корень: a = √39 см, то есть примерно 6,2 см.

Ответ: √39 см (примерно 6,2 см). Проверка здравого смысла показывает, что результат больше 2 см и меньше 12 см, как и должна быть сторона треугольника со сторонами 5 см и 7 см.

Найти угол по трём сторонам

Стороны, образующие угол A, равны 6 см и 8 см, а сторона напротив него равна 10 см. Требуется найти угол A. Здесь известны все три стороны, поэтому удобнее выразить из теоремы косинусов косинус угла, а затем определить сам угол.

1. Подставим a = 10, b = 6 и c = 8 в формулу cos A = (b² + c² − a²) / 2bc.
2. Вычислим: cos A = (36 + 64 − 100) / (2 · 6 · 8) = 0 / 96 = 0.
3. Косинус равен нулю у угла 90°, значит A = 90°. Проверка показывает, что 6² + 8² = 10², поэтому получился прямоугольный треугольник.

Ответ: 90°. На этом примере видно, что теорема косинусов позволяет узнать вид угла, даже если в условии не сказано, является ли треугольник прямоугольным.

Найти наибольший угол по трём сторонам

Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 8 см. Наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны, то есть напротив стороны 8 см. Обозначим этот угол через C, а прилежащие к нему стороны — через a = 5 и b = 7.

1. Запишем формулу для косинуса угла C: cos C = (a² + b² − c²) / 2ab.
2. Подставим c = 8: cos C = (25 + 49 − 64) / (2 · 5 · 7) = 10 / 70 = 1/7.
3. По значению cos C ≈ 0,143 определяем угол: C ≈ 82°. Косинус положителен, поэтому угол острый; среди углов треугольника он всё равно наибольший, поскольку лежит напротив самой длинной стороны.

Ответ: наибольший угол примерно равен 82°. Сумма сторон 5 и 7 больше 8, значит такой треугольник существует; вычисленное значение косинуса также находится в допустимом промежутке от −1 до 1.

Типичные ошибки

Неверно выбирают угол. Иногда в формулу подставляют угол, который не заключён между двумя используемыми сторонами. Это происходит, когда ориентируются только на обозначение угла и не проверяют его положение. Перед вычислениями отметь стороны, образующие угол: именно они должны стоять в произведении, а противолежащая сторона — отдельно.

Путают противолежащую сторону с прилежащими. В формуле для угла A сторона a лежит напротив него, а b и c образуют угол. Если поменять их местами, можно получить неверное равенство. Проверь себя: напротив угла должна быть сторона, квадрат которой стоит отдельно, а в произведении должны быть стороны, соединяющиеся в этой вершине.

Теряют множитель 2 или меняют знак. В спешке записывают −bc cos A или ставят перед произведением плюс. Причина часто в попытке вспомнить формулу по частям, не сверяя её целиком. Перед подстановкой напиши a² = b² + c² − 2bc cos A, а после вычисления проверь знак косинуса: у тупого угла вычитание отрицательного числа увеличивает результат.

Неверно судят о виде угла по косинусу. Можно решить, что отрицательный косинус невозможен, или назвать угол острым при отрицательном результате. Так случается, если не учитывать, что тупой угол больше 90°. Проверка проста: положительный косинус означает острый угол, нулевой — прямой, отрицательный — тупой; полученное значение должно быть от −1 до 1.

Связь с другими темами

Для вывода теоремы косинусов нужны теорема Пифагора, свойства треугольника и понимание косинуса угла. Сама теорема продолжает изучение метрических соотношений — правил, связывающих длины и углы, — и обобщает теорему Пифагора на непрямоугольные треугольники. Позже она пригодится при решении треугольников, вычислении расстояний и нахождении углов по трём сторонам.

Что запомнить

• Теорема косинусов применяется к любому треугольнику.
• Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
• В формуле угол должен быть заключён между двумя прилежащими сторонами.
• По трём сторонам можно найти любой угол треугольника.
• При угле 90° теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
• Острый угол имеет положительный косинус, прямой — нулевой, тупой — отрицательный.
• Проверяй неравенство треугольника и то, что значение косинуса лежит от −1 до 1.