§ 52. Тригонометрические функции тупого угла

Определения и обозначения

Пусть α — тупой угол, то есть 90° < α < 180°. Синусом тупого угла называют синус смежного с ним острого угла: sin α = sin(180° − α). Смежный угол острый, поэтому его синус можно находить по уже знакомым правилам; так мы расширяем применение понятия синуса.

Косинус тупого угла — число, противоположное косинусу смежного острого угла: cos α = −cos(180° − α). Знак «минус» показывает, что значения имеют равные модули, но направлены в противоположные стороны. Благодаря этому определению можно находить косинус тупого угла, не вводя для него новое отношение длин.

Тангенс тупого угла определяют как число, противоположное тангенсу смежного острого: tg α = −tg(180° − α). Поэтому тангенс тупого угла отрицателен. Это правило позволяет перейти к знакомой функции острого угла, если его значение известно.

Котангенс тупого угла — число, противоположное котангенсу смежного острого: ctg α = −ctg(180° − α). Он тоже отрицателен. Определение нужно, чтобы вычислять котангенс через острый угол и правильно учитывать знак результата.

Как это устроено

Обозначим тупой угол через α. Его смежный угол составляет с ним 180°, поэтому равен 180° − α; поскольку α больше 90°, разность меньше 90° и положительна. Получается острый угол. Именно он позволяет применить определения тригонометрических функций, которые уже известны для острых углов, а затем связать их значения со значениями для α.

Синусы смежных углов равны, потому что соответствующее отношение длин при переходе к тупому углу не меняется. Если рассматривать углы на одной прямой и построить прямоугольные треугольники с общей высотой, у них одинаковы высота и длина основания, используемые для синуса. Меняется угол, но не отношение этих длин. Поэтому sin α = sin(180° − α), и синус тупого угла остаётся положительным.

У косинуса учитывается не только длина проекции, но и её направление. Для острого угла проекция направлена в одну сторону, а для смежного тупого — в противоположную, поэтому её значение меняет знак. Отсюда cos α = −cos(180° − α). Косинус острого угла положителен, следовательно, косинус тупого угла отрицателен.

Тангенс и котангенс тупого угла также получают знак минус относительно функций смежного острого угла. В определениях это задано именно потому, что при переходе к тупому углу меняется знак направленной проекции, а синус остаётся положительным. Так как тангенс и котангенс острого угла положительны, противоположные им значения отрицательны. Значит, tg α и ctg α меньше нуля.

Для тупого угла сохраняются формулы tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α. Это можно проверить подстановкой: у синуса значения для α и 180° − α совпадают, а у косинуса знак противоположный. Поэтому отношение sin α / cos α равно минус тангенсу смежного острого угла, а отношение cos α / sin α — минус его котангенсу. Так отношения согласуются с определениями и дают отрицательные значения.

Тригонометрические функции тупого угла α

Сначала найдите смежный острый угол 180° − α и подставьте его в нужную строку таблицы. Затем проверьте знак: минус есть у косинуса, тангенса и котангенса, но не у синуса. Таблица помогает не перепутать правила для разных функций.

Разбор задач

Задача 1. Угол α тупой, а sin(180° − α) = 3/5. Найдите sin α. Здесь уже дан синус смежного острого угла, поэтому дополнительное вычисление угла не требуется. Нужно выбрать правило, которое связывает синусы смежных углов.

1. Для тупого угла выполняется равенство sin α = sin(180° − α).
2. Подставим данное значение: sin α = 3/5.
3. Проверим знак: синус тупого угла положителен, и результат этому соответствует.

Ответ: sin α = 3/5.

Задача 2. Угол α тупой, cos(180° − α) = 4/5. Найдите cos α и укажите его знак. Смежный угол острый, поэтому его косинус положителен. Но для самого тупого угла знак косинуса нужно изменить, применив соответствующее правило.

1. Запишем формулу: cos α = −cos(180° − α).
2. Подставим известное значение: cos α = −4/5.
3. Проверим знак: косинус тупого угла отрицателен, значит, полученное значение подходит.

Ответ: cos α = −4/5, знак отрицательный.

Задача 3. Угол α тупой, sin α = 5/13. Найдите cos α, tg α и ctg α. Сначала используем основное тригонометрическое тождество, затем определим знак косинуса по условию об угле. После этого отношения синуса и косинуса дадут тангенс и котангенс.

1. Из sin² α + cos² α = 1 получаем cos² α = 1 − (5/13)² = 144/169, поэтому cos α = ±12/13.
2. Так как α тупой, выбираем отрицательный корень: cos α = −12/13.
3. Находим tg α = sin α / cos α = (5/13) / (−12/13) = −5/12.
4. Находим ctg α = cos α / sin α = (−12/13) / (5/13) = −12/5.

Ответ: cos α = −12/13, tg α = −5/12, ctg α = −12/5.

Типичные ошибки

Можно ошибочно считать косинус тупого угла положительным, ведь косинус смежного острого угла положителен. Но при переходе к тупому углу проекция меняет направление, и косинус получает противоположный знак. Проверка проста: если α тупой, по формуле cos α = −cos(180° − α) его косинус обязан быть отрицательным.

Иногда записывают sin α = −sin(180° − α), перенося правило знака с косинуса на синус. Так происходит, если запомнить формулы без сравнения их смысла. Проверьте равенство: синусы смежных углов одинаковы, поэтому у формулы синуса минуса нет.

Ещё одна ошибка — считать тангенс или котангенс тупого угла положительным, потому что синус положителен. Но тангенс и котангенс связаны отношениями sin α / cos α и cos α / sin α, а косинус тупого угла отрицателен. Значит, в каждом отношении один множитель отрицателен и результат отрицателен; это можно проверить по знакам числителя и знаменателя.

При вычислении косинуса из синуса иногда выбирают положительный корень. Основное тождество даёт значение квадрата косинуса, поэтому само по себе знак не определяет. Перед выбором корня вспомните, что угол тупой, и проверьте ответ: cos α должен быть меньше нуля.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла. Также важно знать свойство смежных углов: их сумма равна 180°, поэтому угол, смежный с тупым, будет острым. Эти знания помогают перейти к уже знакомым значениям и обосновать знаки функций.

Правила пригодятся при решении треугольников и применении тригонометрических соотношений к углам больше 90°. Например, при вычислениях можно заменить функцию тупого угла функцией его острого смежного угла. Так проще использовать известные значения и проверять, реалистичен ли знак результата.

Что запомнить

• Если α тупой, то 180° − α — острый угол.
• sin α = sin(180° − α) > 0.
• cos α = −cos(180° − α) < 0.
• tg α = −tg(180° − α) < 0.
• ctg α = −ctg(180° − α) < 0.
• Для тупого угла sin² α + cos² α = 1.
• tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α.