§ 51. Тригонометрические тождества

Определения и обозначения

Тригонометрическое тождество — равенство с синусом, косинусом, тангенсом или котангенсом, которое верно при всех допустимых значениях угла. Допустимыми называют те значения, при которых каждое выражение в равенстве имеет смысл. Например, если в знаменателе стоит cos α, то угол допустим только при cos α ≠ 0. Поэтому перед преобразованием нужно учитывать не только формулу, но и ограничения.

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла, а не двух разных углов. Запись sin² α означает квадрат значения синуса: (sin α)². Это тождество помогает находить синус по косинусу или косинус по синусу.

Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Деление возможно только тогда, когда знаменатель не равен нулю, поэтому для тангенса требуется cos α ≠ 0. По этой формуле тангенс можно вычислить, если известны синус и косинус угла. Она также позволяет заменить тангенс отношением двух функций.

Котангенс угла — отношение косинуса этого угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. Здесь знаменатель — синус, поэтому котангенс определён только при sin α ≠ 0. Эта формула нужна, чтобы выражать котангенс через синус и косинус. Она похожа на формулу тангенса, но порядок функций в дроби обратный.

Как это устроено

Основное тождество можно обосновать с помощью прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора. Возьмём острый угол α: синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношению прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому квадраты синуса и косинуса — это квадраты соответствующих катетов, поделённые на квадрат гипотенузы. Связь между этими отношениями задаёт теорема Пифагора.

Обозначим катеты через a и b, а гипотенузу через c. По теореме Пифагора a² + b² = c², а отношения катетов к гипотенузе равны синусу и косинусу угла α. Разделим равенство на c²: a² / c² + b² / c² = 1. Каждая дробь становится квадратом соответствующего отношения, поэтому получаем sin² α + cos² α = 1.

Если известен косинус, из основного тождества можно выразить квадрат синуса: sin² α = 1 − cos² α. Аналогично, если известен синус, то cos² α = 1 − sin² α. После этого извлекают квадратный корень, но знак выбирают с учётом угла: квадрат числа не показывает, было ли само число положительным или отрицательным. Для острого угла прямоугольного треугольника и синус, и косинус положительны, поэтому берут положительный корень.

Определения тангенса и котангенса показывают, как выразить их через синус и косинус: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Если оба выражения определены, их произведение равно (sin α / cos α) · (cos α / sin α), то есть 1. Здесь сокращаются одинаковые ненулевые множители. Условие, что оба выражения определены, необходимо: синус и косинус не должны быть равны нулю.

При упрощении выражения ищут его части, которые можно заменить известными тождествами. Например, сумму sin² α + cos² α можно заменить числом 1, поскольку она равна единице при любом угле. Если после преобразования в знаменателе остаётся синус или косинус, проверяют, что он не равен нулю. Такая проверка нужна, чтобы не выполнить деление, которое не имеет смысла.

Основные тригонометрические тождества и условия их применения

Сначала найдите в условии нужное тождество и проверьте ограничение в его строке. Если преобразуете дробь, отдельно убедитесь, что знаменатель не равен нулю. Тогда таблица поможет выбрать формулу и не применить её там, где выражение не определено.

Разбор задач

1. В прямоугольном треугольнике sin α = 3/5. Найдите cos α, если α — острый угол.

Известен синус, а найти нужно косинус, поэтому используем основное тождество. Сначала найдём квадрат косинуса, затем извлечём корень. Угол острый, значит косинус положителен.

1. Подставляем sin α = 3/5 в равенство cos² α = 1 − sin² α.
2. Получаем cos² α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
3. Извлекаем корень: cos α = ±4/5. Так как α острый, выбираем положительный знак.

Ответ: cos α = 4/5.

2. Упростите выражение (sin² α + cos² α) / cos α при cos α ≠ 0.

В числителе находится сумма квадратов синуса и косинуса одного угла. По основному тождеству она равна 1, поэтому сложное выражение превращается в дробь с единицей в числителе. Условие задачи гарантирует, что деление на cos α допустимо.

1. Заменяем числитель: sin² α + cos² α = 1.
2. Получаем выражение 1 / cos α.
3. Проверяем условие: cos α ≠ 0, значит знаменатель не обращается в ноль и ответ определён.

Ответ: 1 / cos α.

3. Известно, что tg α = 2 и cos α = 1/√5. Найдите sin α и ctg α.

Связь тангенса с синусом и косинусом позволит найти синус. Затем по определению котангенса найдём отношение косинуса к синусу. В конце проверим, согласуются ли найденные значения с основным тождеством.

1. Используем tg α = sin α / cos α. Тогда sin α = tg α · cos α = 2 · 1/√5 = 2/√5.
2. Находим котангенс: ctg α = cos α / sin α = (1/√5) / (2/√5) = 1/2.
3. Проверяем основное тождество: (2/√5)² + (1/√5)² = 4/5 + 1/5 = 1. Значения синуса и косинуса согласуются с тождеством.

Ответ: sin α = 2/√5, ctg α = 1/2.

Типичные ошибки

Иногда вместо sin² α + cos² α = 1 записывают sin α + cos α = 1. В такой записи функции не возведены в квадрат, поэтому это уже не основное тождество и равенство в общем случае неверно. Ошибка возникает, когда верхний маленький знак 2 не замечают или считают его частью обозначения угла. Проверяйте каждое слагаемое: квадрат относится и к синусу, и к косинусу.

При переходе от sin² α = a к sin α = √a можно забыть, что при извлечении корня возможны два знака: sin α = ±√a. Квадрат одинаков у положительного и отрицательного числа, поэтому сам по себе он знак не определяет. Для острого угла синус положителен, но для угла другого типа знак нужно выяснять отдельно. Перед выбором корня учитывайте условие задачи.

Делить или сокращать на sin α либо cos α без проверки нельзя: соответствующее значение может оказаться нулём. Такую ошибку допускают, потому что сокращение одинаковых множителей кажется безусловно разрешённым. Но деление на ноль не определено, поэтому преобразование может потерять допустимые значения или стать неверным. Перед сокращением укажите условие: sin α ≠ 0 или cos α ≠ 0.

Тангенс и котангенс не определены при одних и тех же углах. У тангенса знаменатель cos α, а у котангенса — sin α, поэтому условия различаются. Если помнить только, что «знаменатель не должен быть нулём», легко проверить не ту функцию. Чтобы убедиться в себе, каждый раз выписывайте определение дробью и смотрите именно на её знаменатель.

Связь с другими темами

Для объяснения основного тождества нужны теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Формулы тангенса и котангенса опираются на их определения как отношений сторон. Новые равенства помогают находить неизвестные тригонометрические величины и упрощать выражения. Позже тождества станут инструментом для преобразования более сложных тригонометрических выражений и решения уравнений.

Что запомнить

• sin² α + cos² α = 1.
• Квадрат означает, что возводится в квадрат значение функции: sin² α = (sin α)².
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• tg α · ctg α = 1, когда оба выражения определены.
• При извлечении квадратного корня учитывай знак значения функции и условия задачи.