"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Синус, косинус, тангенс и котангенс — отношения сторон прямоугольного треугольника, связанные с выбранным острым углом. Они помогают находить неизвестные стороны и углы и сравнивать углы по числам. Эти отношения не меняются при увеличении или уменьшении треугольника: важна только величина угла. Главное — верно определить прилежащий и противолежащий катеты и помнить связи между четырьмя функциями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащий катет лежит напротив угла α, а гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Синус показывает, какую часть гипотенузы составляет катет напротив угла, и помогает находить длины сторон.
Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет касается угла α и не является гипотенузой. Косинус нужен, чтобы связывать этот катет с гипотенузой и решать задачи на их длины.
Тангенс острого угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. Здесь сравниваются два катета, а гипотенуза не участвует. Тангенс удобен, когда известны или требуется связать именно катеты прямоугольного треугольника.
Котангенс острого угла α — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет. Это отношение катетов, записанное в порядке, обратном тангенсу. Котангенс помогает выразить один катет через другой; для одного и того же острого угла он обратен тангенсу.
Представь два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. Они подобны: у них равны прямые углы и ещё по одному острому углу, поэтому совпадают соответствующие углы. При подобии все соответствующие стороны меняются в одинаковое число раз. Значит, отношение катета к гипотенузе и отношение одного катета к другому остаются прежними: sin α, cos α, tg α и ctg α зависят от величины угла, а не от размера треугольника.
Чтобы не перепутать катеты, сначала отметь угол α и только потом называй стороны. Напротив него находится противолежащий катет, а рядом с ним лежит прилежащий катет; гипотенуза всегда расположена напротив прямого угла. У одного треугольника два острых угла, поэтому при выборе другого угла названия катетов поменяются местами. Перед подстановкой в формулу проверь, относительно какого угла дана задача.
Тангенс можно получить, разделив синус на косинус: (противолежащий катет / гипотенуза) / (прилежащий катет / гипотенуза) = противолежащий катет / прилежащий катет. Гипотенуза сокращается, и получается определение tg α. Если разделить косинус на синус, выйдет обратное отношение катетов, то есть ctg α. Поэтому tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α, а их произведение равно единице.
У острого угла все стороны прямоугольного треугольника положительны, поэтому положительны и все четыре отношения. Гипотенуза длиннее каждого катета, значит, отношения катета к гипотенузе больше нуля, но меньше единицы: таковы синус и косинус. Тангенс и котангенс сравнивают катеты, и один катет может быть длиннее другого, поэтому эти отношения могут быть как меньше, так и больше единицы.
Когда острый угол увеличивается от 0° до 90°, противолежащий катет относительно него становится больше по сравнению с прилежащим. Поэтому растут sin α и tg α, а cos α и ctg α убывают. Это изменение позволяет сравнивать острые углы: например, большему углу соответствует больший синус. Для косинуса и котангенса сравнение обратное: большему углу соответствует меньшее значение.
| Свойство | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| Определение через стороны прямоугольного треугольника | Противолежащий катет / гипотенуза | Прилежащий катет / гипотенуза | Противолежащий катет / прилежащий | Прилежащий катет / противолежащий |
| Множество значений | 0 < sin α < 1 | 0 < cos α < 1 | Только положительные | Только положительные |
| Связь с sin α и cos α | sin² α + cos² α = 1 | sin² α + cos² α = 1 | sin α / cos α | cos α / sin α |
| Поведение при увеличении α | Возрастает | Убывает | Возрастает | Убывает |
| Значения при α = 30°, 45°, 60° | ½; √2/2; √3/2 | √3/2; √2/2; ½ | √3/3; 1; √3 | √3; 1; √3/3 |
В первой строке найди отношение сторон, которое подходит к задаче, а во второй проверь, возможно ли полученное значение. Связи между функциями помогают перейти от известного значения к другим, а последняя строка полезна для узнавания углов 30°, 45° и 60°. Значения в этой строке записаны в одном порядке: сначала для 30°, затем для 45° и 60°.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а катет, противолежащий углу α, равен 6 см. Найти sin α, cos α, tg α и ctg α. Сначала найдём второй катет, затем подставим стороны в определения функций.
Ответ: sin α = 3/5, cos α = 4/5, tg α = 3/4, ctg α = 4/3.
Задача 2. Известно, что sin α = 3/5, где α — острый угол. Найти cos α, tg α и ctg α. Из основного тождества найдём квадрат косинуса, а положительный корень выберем потому, что косинус острого угла положителен.
Ответ: cos α = 4/5, tg α = 3/4, ctg α = 4/3.
Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 и √3. Определить функции каждого острого угла. Отношение катетов 1 : √3 подсказывает, что острые углы равны 30° и 60°; напротив меньшего катета лежит меньший угол.
Ответ: для угла 30° функции равны 1/2, √3/2, √3/3, √3 соответственно; для угла 60° — √3/2, 1/2, √3, √3/3.
Путают противолежащий и прилежащий катеты, если называют их, не выбрав угол. Причина в том, что катеты сами по себе не имеют постоянных названий: относительно другого острого угла их роли меняются. Отметь α и проверь: противолежащий катет находится прямо напротив него, прилежащий образует его вместе с гипотенузой.
В знаменатель синуса или косинуса иногда записывают катет вместо гипотенузы. Так происходит, когда формулу вспоминают по отдельным словам, а не по определению. Проверь знаменатель: и синус, и косинус — это отношение катета к гипотенузе; гипотенуза должна быть напротив прямого угла.
Ошибочно записывают tg α = cos α / sin α, меняя местами числитель и знаменатель. Такое отношение равно котангенсу, а тангенс получается как sin α / cos α. Проверить себя легко по катетам: тангенс — противолежащий, делённый на прилежащий; котангенс — наоборот.
Определения для острого угла переносят на прямой или тупой угол. Но здесь они заданы для угла прямоугольного треугольника, и два его рассматриваемых угла именно острые. Перед использованием формул проверь условие задачи: если угол прямой или тупой, эти определения через катеты к нему напрямую не применяются.
Для этой темы понадобятся знания о прямоугольном треугольнике: нужно отличать гипотенузу от катетов и понимать, как выбрать стороны относительно угла. Теорема Пифагора помогает найти неизвестную сторону, а подобие треугольников объясняет, почему отношения сторон одинаковы при одном и том же угле. Полезно также знать свойства углов треугольника: они помогают распознавать пары острых углов.
Тригонометрические функции применяют, чтобы находить стороны и углы прямоугольного треугольника. Эти способы помогают решать геометрические задачи и измерять расстояния, которые трудно определить напрямую. Позже те же обозначения встретятся при изучении тригонометрических функций и уравнений.
Как понять, какой катет является прилежащим?
Сначала выбери острый угол, относительно которого рассматриваешь треугольник. Прилежащий катет образует этот угол вместе с гипотенузой, а противолежащий лежит напротив него.
Почему значения синуса и косинуса не зависят от размера треугольника?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. При увеличении треугольника все стороны умножаются на один и тот же коэффициент, поэтому их отношения не меняются.
Можно ли найти все функции угла, если известен только его синус?
Для острого угла можно: используй sin² α + cos² α = 1, чтобы найти косинус, а затем tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α. Косинус берётся положительным, потому что угол острый.
Почему тангенс может быть больше единицы, а синус — нет?
Синус — это отношение катета к гипотенузе, которая длиннее любого катета, поэтому синус меньше единицы. Тангенс сравнивает два катета: если противолежащий длиннее прилежащего, их отношение больше единицы.
Как по значениям тригонометрических функций определить острый угол?
Для острых углов синус и тангенс растут, а косинус и котангенс убывают. Сравни значение с известными значениями, например для 30°, 45° и 60°, или используй таблицу тригонометрических функций.
§ 50. Тригонометрические функции острого угла
