§ 1. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°

Определения и обозначения

Синус угла α — отношение координаты y точки единичной окружности к её радиусу; обозначают sin α. Единичная окружность имеет радиус 1, поэтому значение синуса совпадает с координатой y. По синусу можно судить о высоте точки над горизонтальной осью.

Косинус угла α — отношение координаты x точки единичной окружности к её радиусу; обозначают cos α. Так как радиус равен 1, косинус совпадает с координатой x точки. Он показывает, насколько далеко точка расположена вправо или влево от вертикальной оси.

Тангенс угла α — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Это определение имеет смысл, только когда cos α ≠ 0, ведь знаменатель дроби не может быть нулём. Тангенс связывает вертикальное и горизонтальное смещения точки.

Котангенс угла α — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α. Он определён при sin α ≠ 0, поскольку синус стоит в знаменателе. Котангенс использует те же координаты, что и тангенс, но их отношение записано наоборот.

Как это устроено

Чтобы задать угол на окружности, проводят луч из её центра и поворачивают его от положительного направления горизонтальной оси. Точка пересечения луча с окружностью имеет координаты (cos α; sin α), потому что радиус окружности равен 1. Поэтому перемещение точки сразу задаёт оба значения: горизонтальная координата становится косинусом, а вертикальная — синусом.

При повороте от 0° до 180° точка проходит по верхней половине окружности. Её координата y не опускается ниже горизонтальной оси, следовательно, sin α ≥ 0; нулевое значение получается только на концах дуги. Координата x сначала положительна, в точке 90° равна нулю, а затем становится отрицательной. Поэтому косинус меняет знак после 90°.

Тангенс получают делением синуса на косинус: tg α = sin α / cos α. Котангенс получают делением косинуса на синус: ctg α = cos α / sin α. Знак частного зависит от знаков числителя и знаменателя: на промежутке 90°–180° синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому обе эти дроби отрицательны.

При 90° косинус равен нулю, а значит, в формуле тангенса знаменатель обращается в ноль. Поэтому tg 90° не существует. При 0° и 180° синус равен нулю, и делить на него в формуле котангенса нельзя; ctg 0° и ctg 180° не существуют.

Координаты точки на единичной окружности удовлетворяют равенству x² + y² = 1. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1. Если известен синус, то cos² α = 1 − sin² α, а если известен косинус, то sin² α = 1 − cos² α. При извлечении корня нужно выбрать знак по положению угла: модуль значения задаёт корень, а знак — четверть.

Тригонометрические функции угла от 0° до 180°

Квадратные скобки означают, что конец промежутка включён, круглые — что не включён. Область определения показывает, при каких углах функция имеет значение, а множество значений — какие результаты она может принимать. Для тангенса и котангенса отдельно проверяйте знаменатель в их формулах.

Разбор задач

Задача 1

Найти sin 150°, cos 120°, tg 135° и ctg 150°. Все углы лежат во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Поэтому при использовании табличных значений нужно учитывать знак, а не только величину функции.

1. Угол 150° дополняет до 180° угол 30°, поэтому sin 150° = sin 30° = ½.
2. Угол 120° дополняет до 180° угол 60°, поэтому cos 120° = −cos 60° = −½.
3. Для 135° опорный острый угол равен 45°. Тогда tg 135° = −tg 45° = −1: тангенс во второй четверти отрицателен.
4. Для котангенса используем ctg 150° = cos 150° / sin 150°. Значения равны −√3/2 и ½, поэтому ctg 150° = −√3.

Ответ: sin 150° = ½, cos 120° = −½, tg 135° = −1, ctg 150° = −√3. Знаки получились согласованными с координатами точки во второй четверти. В частности, отношение положительного синуса к отрицательному косинусу отрицательно.

Задача 2

Сравнить sin 40° и sin 70°, а также cos 40° и cos 70°. Оба угла находятся между 0° и 90°, где синус возрастает, а косинус убывает. Сравнивать сами углы достаточно, чтобы установить порядок значений каждой функции.

1. Так как 40° < 70° и синус возрастает на этом промежутке, получаем sin 40° < sin 70°.
2. Косинус на том же промежутке убывает, поэтому большему углу соответствует меньшее значение: cos 40° > cos 70°.

Ответ: sin 40° < sin 70°; cos 40° > cos 70°. При сравнении важно учитывать направление изменения функции, а не переносить правило для синуса на косинус. Здесь оба угла острые, поэтому изменения знака не происходит.

Задача 3

Дано: sin α = 3/5, 90° < α < 180°. Найти cos α, tg α и ctg α. Угол находится во второй четверти, поэтому косинус отрицателен, а синус положителен. Сначала найдём величину косинуса по основному тождеству, затем вычислим отношения.

1. Из sin² α + cos² α = 1 следует cos² α = 1 − (3/5)² = 16/25.
2. Значит, cos α = ±4/5. Так как во второй четверти косинус отрицателен, выбираем cos α = −4/5.
3. Вычисляем tg α = (3/5) / (−4/5) = −3/4.
4. Вычисляем ctg α = (−4/5) / (3/5) = −4/3.

Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4, ctg α = −4/3. Перед вычислением дробей мы определили знак косинуса по промежутку, где находится угол. Оба отношения отрицательны, поскольку их числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что cos α положителен на всём отрезке от 0° до 180°. Её допускают, если вспоминают только острые углы из прямоугольного треугольника. На единичной окружности после 90° координата x отрицательна; проверяйте четверть и положение точки относительно вертикальной оси.

Ошибка: записывать tg 90° или ctg 0°. В первом случае знаменатель cos 90° равен нулю, во втором — sin 0° равен нулю. Подставляйте угол в определение функции и проверяйте знаменатель до деления.

Ошибка: путать формулы тангенса и котангенса. Это случается, когда названия запоминают, но не проверяют порядок дроби. Сверяйтесь с определениями: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α; их произведение при определённости равно 1.

Ошибка: выбирать положительный корень для косинуса, не учитывая промежуток, которому принадлежит угол. Корень из cos² α даёт только модуль косинуса, а знак зависит от координаты x. Сначала определите четверть, после этого выбирайте знак; для угла между 90° и 180° косинус отрицателен.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координаты точки, знаки координат по четвертям, градусная мера угла и представление о единичной окружности. Связь с прямоугольным треугольником помогает узнавать значения функций острых углов, но окружность позволяет продолжить определения на угол до 180°. Умение применять тождество и определять знаки пригодится при решении тригонометрических уравнений и задач на треугольники. Эти знания также нужны при изучении графиков тригонометрических функций.

Что запомнить

• Для углов от 0° до 180° синус неотрицателен.
• Косинус положителен на отрезке 0°–90° и отрицателен на 90°–180°.
• tg α = sin α / cos α.
• ctg α = cos α / sin α.
• tg 90° не существует.
• ctg 0° и ctg 180° не существуют.
• sin² α + cos² α = 1.