"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Многоугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности, и описанным, если все его стороны касаются окружности. Эти понятия помогают находить углы и стороны фигур, строить окружности и исследовать симметрию. У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме равны 180°, а у описанного суммы длин противоположных сторон равны. У правильного многоугольника можно построить обе окружности с общим центром.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около многоугольника. Такое определение помогает отличать фигуру, вписанную в окружность, от фигуры, стороны которой только касаются окружности. Проверять нужно каждую вершину, а не одну или две.
Описанный многоугольник — многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Эту окружность называют вписанной в многоугольник. Касание означает, что сторона имеет с окружностью одну общую точку, а радиус, проведённый к ней, перпендикулярен стороне. Это понятие позволяет применять свойства касательных.
Описанная около многоугольника окружность проходит через все его вершины. Её центр равноудалён от этих вершин, то есть расстояния от центра до них одинаковы. Поэтому центр можно искать как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Равенство расстояний служит основой построения окружности.
Вписанная в многоугольник окружность касается всех его сторон. Её центр равноудалён от сторон: расстояния измеряют по перпендикулярам от центра к сторонам. Поэтому этот центр лежит на биссектрисах углов фигуры. Определение помогает находить центр и радиус вписанной окружности.
Чтобы описать окружность около многоугольника, нужно найти точку, одинаково удалённую от всех его вершин. Для треугольника сначала рассматривают серединные перпендикуляры к сторонам: каждая точка такого перпендикуляра равноудалена от концов стороны. Пересечение двух перпендикуляров оказывается равноудалённым от всех трёх вершин. Если третья сторона не проходит через эту точку перпендикулярно своим свойствам, это не меняет равенства расстояний: центр лежит и на третьем серединном перпендикуляре.
У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают 180°. Причина связана со свойством вписанного угла: его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Дуги, соответствующие двум противоположным углам, вместе составляют полную окружность. Значит, сумма углов равна половине 360°, то есть 180°. Для выпуклого четырёхугольника это также признак: если сумма противоположных углов равна 180°, около него можно описать окружность.
Центр окружности, вписанной в описанный многоугольник, равноудалён от всех его сторон. Точки, равноудалённые от двух сторон угла, лежат на его биссектрисе — луче, делящем угол пополам. Поэтому центр должен находиться на биссектрисах углов многоугольника. Их пересечение даёт точку, из которой можно провести одинаковые перпендикуляры к сторонам; длина такого перпендикуляра является радиусом вписанной окружности.
У описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Чтобы увидеть причину, обозначим точки касания окружности со сторонами. Из одной вершины к окружности проведены две касательные, и их отрезки равны. Каждая сторона состоит из двух таких отрезков, принадлежащих соседним вершинам. Если сложить длины противоположных сторон, в обеих суммах окажутся одни и те же отрезки касательных, поэтому суммы совпадут.
У любого правильного многоугольника можно построить и вписанную, и описанную окружности. Правильный многоугольник имеет оси симметрии, и их общая точка одинаково удалена от всех вершин и сторон. Следовательно, она служит центром обеих окружностей. Совпадение центров позволяет связывать радиусы окружностей и использовать симметрию при вычислениях.
Сопоставляйте признаки по столбцам: сначала установите, что именно связано с окружностью, а затем применяйте свойство для нужной фигуры. Условия для четырёхугольников относятся к разным типам многоугольника, поэтому подменять их нельзя. Равенство сумм сторон — признак описанного четырёхугольника, а сумма противоположных углов 180° относится к вписанному.
| Признак | Вписанный многоугольник | Описанный многоугольник |
|---|---|---|
| Что лежит на окружности или касается её | Все вершины лежат на окружности | Все стороны касаются окружности |
| Положение центра окружности | Равноудалён от всех вершин | Равноудалён от всех сторон |
| Условие для четырёхугольника | Противоположные углы в сумме дают 180° | Противоположные углы не обязаны иметь фиксированную сумму |
| Равенство, связывающее стороны | Специального равенства сумм противоположных сторон нет | AB + CD = BC + AD |
Задача 1. В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 68° и 112°. Можно ли утверждать, что он вписанный? Нужно проверить сумму противоположных углов, а не сравнивать их по отдельности. Для выпуклого четырёхугольника равенство этой суммы 180° является достаточным условием вписанности.
Ответ: да, четырёхугольник является вписанным.
Задача 2. ABCD — вписанный четырёхугольник, угол A равен 73°. Найдём угол C. Эти углы противоположные, а их сумма для вписанного четырёхугольника равна 180°. Поэтому достаточно вычесть известную величину из 180°.
Ответ: ∠C = 107°.
Задача 3. ABCD — описанный четырёхугольник, AB = 5 см, BC = 8 см, CD = 7 см. Требуется найти AD и периметр. Здесь подходит равенство сумм противоположных сторон, потому что окружность касается всех сторон четырёхугольника. Найдя недостающую сторону, сложим длины всех четырёх сторон.
Ответ: AD = 4 см, периметр ABCD равен 24 см.
Ошибка: считать, что для вписанности достаточно двух вершин на окружности. Так можно решить, что фигура вписана, хотя остальные вершины окружности не принадлежат. Проверяйте все вершины многоугольника и убедитесь, что одна окружность проходит через каждую из них.
Ошибка: путать вписанный и описанный многоугольники. Названия легко перепутать, если не уточнять, что именно вписано в окружность. Вспомните проверку: у вписанного на окружности лежат вершины, у описанного окружность касается сторон.
Ошибка: применять сумму противоположных углов 180° к любому четырёхугольнику. Это свойство связано с окружностью и не обязано выполняться у произвольной фигуры. Перед вычислением проверьте, дан ли вписанный четырёхугольник или доказана ли его вписанность.
Ошибка: утверждать, что у описанного четырёхугольника равны противоположные стороны. Из равенства касательных получается равенство сумм сторон, а не равенство каждой пары сторон. Для самопроверки запишите AB + CD = BC + AD и подставьте известные длины.
Для этой темы нужны свойства вписанного угла: именно они объясняют сумму противоположных углов четырёхугольника. Построение центра описанной окружности связано с серединным перпендикуляром, а центр вписанной окружности — с биссектрисой угла. Равенство сумм сторон описанного четырёхугольника опирается на свойство касательной и равенство отрезков касательных из одной точки. Эти знания понадобятся при изучении правильных многоугольников и вычислении их периметров и площадей.
Как проверить, является ли четырёхугольник вписанным?
Проверьте, равна ли 180° сумма одной пары противоположных углов. Для выпуклого четырёхугольника это необходимое и достаточное условие вписанности. Если условие выполнено, все четыре вершины лежат на одной окружности.
Почему противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°?
Каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Противоположные углы опираются на две дуги, вместе составляющие полную окружность. Поэтому их сумма равна половине 360°, то есть 180°.
Где находится центр окружности, описанной около треугольника?
Он находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр состоит из точек, равноудалённых от концов соответствующей стороны. Поэтому точка пересечения равноудалена от всех трёх вершин.
Какое равенство связывает стороны описанного четырёхугольника?
Суммы длин противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Это следует из равенства отрезков касательных, проведённых из одной вершины к вписанной окружности.
Может ли один многоугольник быть одновременно вписанным и описанным?
Да, например, правильный многоугольник одновременно вписан в одну окружность и описан около другой. Центры этих окружностей совпадают. Для произвольного многоугольника такая возможность не гарантирована.
§ 33. Вписанные и описанные многоугольники
