"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Четырехугольник может быть связан с окружностью двумя способами: его вершины лежат на окружности или его стороны касаются окружности. В первом случае фигуру называют вписанной, во втором — описанной. Для распознавания и решения задач используют разные свойства: у вписанного четырехугольника противоположные углы в сумме дают 180°, а у описанного равны суммы длин противоположных сторон. Эти соотношения помогают находить неизвестные углы и стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности; эту окружность называют описанной около него. Например, если вершины A, B, C и D лежат на окружности, ABCD — вписанный четырехугольник. Это определение помогает понять, какое расположение точек нужно проверить в задаче.
Описанный четырехугольник — четырехугольник, все стороны которого касаются одной окружности; окружность называют вписанной в него. Касательная имеет с окружностью одну общую точку, и каждая сторона должна быть такой касательной. Это понятие нужно, чтобы связать длины сторон фигуры со свойствами касательных.
Признак вписанного четырехугольника — условие, по которому можно установить, что четырехугольник является вписанным: сумма его противоположных углов равна 180°. Противоположными называют углы, которые не имеют общей стороны, например A и C. Признак удобен, когда углы известны, а сама окружность не изображена.
Признак описанного четырехугольника — условие, по которому можно установить, что четырехугольник является описанным: суммы длин противоположных сторон равны. Например, для ABCD проверяют равенство AB + CD = BC + AD. Это условие позволяет исследовать стороны, но его нельзя автоматически считать достаточным признаком существования окружности.
У вписанного четырехугольника противоположные углы в сумме дают 180°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому удобно рассмотреть дуги, соответствующие двум противоположным углам. Эти дуги вместе составляют полную окружность, то есть 360°, а половина этой величины равна 180°. Так возникает свойство, связывающее геометрию окружности с углами четырехугольника.
Работает и обратное утверждение: если сумма противоположных углов равна 180°, через три вершины можно провести окружность, на которой окажется четвертая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Угол, опирающийся на дугу между двумя выбранными вершинами, задаёт для четвёртой вершины нужное положение: из условия суммы 180° следует, что она лежит на той же окружности. Поэтому равенство углов используют не только как следствие, но и как признак.
У описанного четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны. Из каждой вершины к точкам касания окружности можно провести два отрезка касательных, и их длины равны. Например, отрезки касательных, проведённые из вершины A, равны между собой, так же как отрезки из B, C и D. Если сложить полученные равенства по вершинам и сгруппировать отрезки по сторонам, получится равенство сумм AB + CD и BC + AD.
Равенство сумм противоположных сторон — необходимое свойство описанного четырехугольника, но не всегда достаточное условие. Оно говорит о соотношении длин, а для описанной окружности нужно, чтобы одна окружность действительно касалась всех четырёх сторон. Поэтому из одного равенства нельзя во всех случаях заключить, что такую окружность можно построить. В доказательстве описанности нужно опираться на дополнительные условия или непосредственно проверять касание.
В задачах важно сначала определить, какая связь с окружностью дана или требуется. Для вписанного четырехугольника применяют прежде всего свойство противоположных углов и его обратное утверждение. Для описанного используют соотношение длин противоположных сторон, полученное из равенства касательных. Если перепутать эти два набора свойств, можно получить уравнение, которое не относится к условию задачи.
| Характеристика | Вписанный четырехугольник | Описанный четырехугольник |
|---|---|---|
| Расположение относительно окружности | Все вершины лежат на окружности | Все стороны касаются окружности |
| Условие для противоположных углов | Сумма равна 180° | Специальное соотношение углов здесь не используется |
| Условие для сумм противоположных сторон | Общего равенства не требуется | Суммы длин равны |
| Признак, используемый для распознавания | Сумма противоположных углов равна 180° | Равенство сумм сторон — необходимое условие, но не всегда достаточный признак |
Сначала посмотри на строку о расположении: она показывает, что именно должно быть связано с окружностью — вершины или стороны. Затем выбери свойство, подходящее к известным данным: угловое для вписанного случая и сторонам для описанного. Строка о признаках помогает не делать слишком сильный вывод из одного равенства.
В четырехугольнике ABCD углы A и C равны 72° и 108°. Определите, является ли он вписанным. Для ответа достаточно проверить сумму противоположных углов, поскольку именно она связана с признаком вписанного четырехугольника. Углы A и C — противоположные, поэтому складываем данные величины.
Ответ: да, четырехугольник ABCD является вписанным.
Четырехугольник ABCD описан около окружности. Известны AB = 5 см, BC = 7 см и CD = 4 см. Найдём AD. Так как речь идёт об описанном четырехугольнике, используем равенство сумм длин противоположных сторон, а не свойство углов.
Ответ: AD = 2 см.
В четырехугольнике ABCD углы A и C относятся как 2:3, а суммы длин сторон AB и CD равны 18 см. Найдите углы A и C и установите, какое свойство применимо, если ABCD вписан и описан около окружности. Обозначим общую часть отношения через x: тогда A = 2x, C = 3x. Поскольку четырехугольник вписан, противоположные углы в сумме дают 180°.
Данные не позволяют определить BC и AD по отдельности, но их сумму найти можно. Ответ: A = 72°, C = 108°; BC + AD = 18 см.
Ошибка: считать, что равенство сумм противоположных сторон 180° доказывает вписанность. Здесь смешаны длины сторон и углы, а для вписанного четырехугольника проверяют именно сумму противоположных углов. Такую путаницу допускают, запоминая только число 180°. Проверь себя: в условии должны складываться величины с единицами градусов.
Ошибка: путать вписанный и описанный четырехугольники. В первом на окружности лежат вершины, а во втором окружность касается сторон; слова похожи, поэтому легко поменять их местами. Нарисуй окружность и отметь, что именно с ней совпадает или соприкасается. Так сразу станет понятно, какое определение подходит.
Ошибка: применять равенство сумм противоположных сторон к вписанному четырехугольнику. Это соотношение относится к описанному четырехугольнику, потому что выводится из равенства отрезков касательных. Ошибку вызывает перенос свойства с одного случая на другой. Перед записью формулы проверь, касается ли окружность сторон.
Ошибка: считать равенство сумм противоположных сторон достаточным признаком описанности. Это равенство обязательно для описанного четырехугольника, но само по себе не всегда гарантирует окружность, касающуюся всех сторон. Иногда свойство и признак ошибочно принимают за одно и то же. Проверь, дана ли дополнительная информация о возможности касания, прежде чем делать вывод.
Для работы с этой темой нужны свойства углов, параллельных и пересекающихся прямых, а также касательной к окружности. Свойство вписанного четырехугольника объясняется через дуги и вписанные углы: угол опирается на дугу и равен половине её градусной меры. Равенство отрезков касательных из одной точки помогает обосновать соотношение сторон описанного четырехугольника. Эти знания пригодятся при вычислении углов и сторон, а также в доказательствах задач на окружности.
Как понять, вписан ли четырехугольник в окружность?
Если все четыре вершины лежат на одной окружности, четырехугольник вписан в неё. Если известны углы, проверьте, равна ли сумма противоположной пары 180°: это также служит признаком вписанного четырехугольника.
Почему сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°?
Каждый вписанный угол опирается на дугу, не содержащую его вершину. Для противоположных углов соответствующие дуги вместе составляют полную окружность, поэтому углы в сумме дают половину 360°, то есть 180°.
Достаточно ли равенства сумм противоположных сторон, чтобы описать четырехугольник около окружности?
Нет, это равенство необходимо для описанного четырехугольника, но само по себе не всегда гарантирует существование окружности, касающейся всех сторон. Для вывода о возможности описать четырехугольник нужны дополнительные условия.
Как найти неизвестную сторону описанного четырехугольника?
Запишите равенство сумм длин противоположных сторон: AB + CD = BC + AD. Подставьте известные длины и решите полученное уравнение относительно неизвестной стороны.
Можно ли четырехугольник одновременно вписать в окружность и описать около окружности?
Да, некоторые четырехугольники обладают обоими свойствами. Тогда одновременно выполняются сумма противоположных углов 180° и равенство сумм противоположных сторон.
§ 34. Свойства вписанных и описанных четырехугольников
