§ 35. Построение правильных многоугольников. Вычисление длины стороны правильного многоугольника

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Его можно вписать в окружность: все вершины лежат на одной окружности. Это определение помогает отличать правильную фигуру от той, у которой равны только стороны или только углы.

Центральный угол правильного n-угольника — угол с вершиной в центре описанной окружности, опирающийся на одну сторону многоугольника. Его величина равна 360°/n, потому что все такие углы вместе составляют полный угол. Это значение нужно для построения равных дуг и вершин.

Радиус описанной окружности R — расстояние от её центра до любой вершины правильного многоугольника. Все такие отрезки равны, поскольку соединяют центр окружности с точками на ней. Радиус связывает размеры фигуры с размерами окружности и используется при вычислении сторон.

Сторону правильного многоугольника обозначают aₙ; это хорда описанной окружности, стягивающая центральный угол 360°/n. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Обозначение aₙ напоминает, что длина стороны зависит от числа сторон и радиуса.

Как это устроено

Проведём из центра описанной окружности радиусы ко всем вершинам. Они разобьют многоугольник на n равнобедренных треугольников: у каждого две стороны — радиусы одной окружности, значит, они равны. В правильном многоугольнике равны и соответствующие стороны, поэтому треугольники равны, а их углы при центре одинаковы. Вместе эти углы образуют полный оборот, откуда каждый равен 360°/n.

Чтобы вписать правильный треугольник, нужно разделить окружность на три равные дуги, а затем соединить соседние точки хордами. Для квадрата проводят два перпендикулярных диаметра: их концы делят окружность на четыре равные дуги. У шестиугольника соседние вершины отстоят на дугу в 60°; такую хорду удобно откладывать циркулем, установив его раствор равным радиусу окружности. Во всех случаях равные дуги дают равные хорды, а значит, и стороны.

Рассмотрим один из равнобедренных треугольников, полученных радиусами. Опустим из центра перпендикуляр на сторону: он разделит и сторону, и центральный угол пополам, поскольку в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой R и углом 180°/n при центре. Половина стороны равна R sin(180°/n), поэтому aₙ = 2R sin(180°/n).

Для треугольника центральный угол равен 120°, а половина угла — 60°, поэтому a₃ = 2R sin 60° = R√3. У квадрата центральный угол равен 90°, откуда a₄ = 2R sin 45° = R√2. У шестиугольника угол равен 60°, и a₆ = 2R sin 30° = R. Эти результаты можно использовать без повторного вывода формулы.

Если дан радиус, формула сразу даёт сторону, когда известно число сторон; если задана сторона или иной элемент, сначала нужно установить связь с радиусом. Например, для шестиугольника R равен стороне, а для квадрата диагональ является диаметром окружности. После вычислений проверь, что результат согласуется с числом сторон: при увеличении n центральный угол становится меньше, поэтому сторона при том же R тоже уменьшается.

Построение и вычисление стороны вписанного правильного многоугольника

Сначала найди нужную строку по числу сторон, затем используй указанное построение или формулу. Если известны R и n, подстановка в последнюю формулу даёт сторону; для треугольника, квадрата и шестиугольника удобнее готовые выражения. Указанный центральный угол позволяет проверить, правильно ли разделена окружность.

Разбор задач

Задача 1. Построить правильный шестиугольник в окружности радиуса 4 см и найти его сторону. У шестиугольника окружность делится на шесть дуг по 60°. Чтобы получить такие дуги без измерения углов, используют свойство хорды, стягивающей угол 60°.

1. Отметим на окружности произвольную точку и установим раствор циркуля, равный радиусу 4 см.
2. Не меняя раствор, последовательно отметим на окружности ещё пять точек: каждый шаг откладывает хорду длиной R.
3. Соединим линейкой соседние точки, включая последнюю с первой. Полученные стороны равны радиусу, поэтому построен правильный шестиугольник.

Ответ: сторона равна 4 см. Построение замыкается после шести шагов, потому что шесть центральных углов по 60° составляют 360°.

Задача 2. Вписать квадрат в окружность радиуса 5 см и вычислить его сторону. Концы двух перпендикулярных диаметров делят окружность на четыре равные дуги, поэтому соединённые по порядку точки будут вершинами квадрата. Его диагональ совпадает с диаметром, то есть равна 2R = 10 см.

1. Проведём через центр окружности один диаметр, затем второй, перпендикулярный первому.
2. Соединим по порядку соседние концы диаметров. Получится квадрат с диагональю 10 см.
3. Диагональ квадрата делит его на прямоугольный равнобедренный треугольник. По теореме Пифагора 10² = a² + a², поэтому a² = 50 и a = 5√2 см.

Ответ: сторона квадрата равна 5√2 см. Проверка по формуле даёт тот же результат: a₄ = R√2 = 5√2 см.

Задача 3. Найти сторону правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см, и объяснить построение. Разделим окружность на три равные дуги: центральный угол каждой будет 120°. Соединим концы этих дуг, а для вычисления рассмотрим один из треугольников, образованных двумя радиусами и стороной.

1. Проведём радиус к выбранной точке и построим центральный угол 120°, чтобы отметить следующую вершину; таким же шагом получим третью.
2. Соединим соседние вершины. Перпендикуляр из центра к стороне делит её пополам, а угол 120° — на два угла по 60°.
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6 см, а половина стороны равна 6 sin 60° = 3√3 см. Значит, вся сторона равна 6√3 см.

Ответ: 6√3 см. Тот же результат получается по формуле a₃ = 2·6·sin 60° = 6√3 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать правильным любой многоугольник с равными сторонами. Равенство углов тоже входит в определение, но про него забывают, потому что стороны проще сравнить на чертеже. Проверь оба условия: все стороны должны быть равны и все углы должны быть равны.

Центральный угол 360°/n иногда принимают за внутренний угол многоугольника. Первый расположен в центре окружности и опирается на одну сторону, второй находится в вершине фигуры; смешение возникает из-за того, что оба угла относятся к одному многоугольнику. Для проверки сравни формулы: центральный угол равен 360°/n, внутренний — (n − 2)·180°/n.

В формуле aₙ = 2R sin(180°/n) иногда подставляют внутренний угол или весь центральный угол. Так происходит, если забыть, что высота равнобедренного треугольника делит центральный угол пополам. Проверь вычисление: в синусе должен стоять половинный угол 180°/n, а для шестиугольника формула обязана дать a₆ = R.

При построении шестиугольника можно отложить хорды произвольной длины и получить неровную фигуру. Ошибка возникает, когда раствор циркуля выбирают на глаз, не связывая его с окружностью. Установи циркуль по радиусу и отложи шесть последовательных хорд; после замыкания все вершины должны лежать на окружности.

Связь с другими темами

Для построений нужны свойства окружности и хорд, умение проводить перпендикулярные прямые и пользоваться циркулем с линейкой. При вычислении стороны помогают теорема Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике, а центральные углы объясняют деление окружности на равные дуги. Найденная сторона позволяет вычислять периметр и площадь правильного многоугольника, а также решать задачи на окружность.

Что запомнить

• Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• Радиусы к вершинам разбивают правильный n-угольник на n равных равнобедренных треугольников.
• Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна 2R sin(180°/n).
• Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности.
• При построении вписанного многоугольника соседние вершины делят окружность на равные дуги.