"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
В треугольнике можно провести высоты, медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры — каждая группа линий пересекается в особой точке. Ортоцентр является общей точкой высот, центр тяжести — медиан, а центры описанной и вписанной окружностей связаны с серединными перпендикулярами и биссектрисами. Знание этих точек помогает доказывать свойства треугольников и решать задачи. Важно также понимать, где находится ортоцентр и как центр тяжести делит медиану.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Высоты, опущенные к сторонам a, b и c, обозначают hₐ, hᵦ и h𝒸. Это определение помогает не путать высоту с отрезком стороны: иногда перпендикуляр приходится проводить к продолжению стороны.
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника. В любом треугольнике все три высоты проходят через одну точку, поэтому для её нахождения достаточно построить две высоты. Ортоцентр обозначают, например, буквой H.
Центр тяжести треугольника — точка пересечения его медиан, которые соединяют вершины с серединами противоположных сторон. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины: расстояние от вершины до центра вдвое больше оставшейся части. Свойство позволяет быстро находить отрезки медиан.
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов. Первый равноудалён от вершин, второй — от сторон треугольника. Эти определения показывают, какие линии нужно строить, чтобы найти каждый центр.
Проведём две высоты треугольника: из вершин A и B. Они не могут быть параллельны, потому что одна перпендикулярна BC, а другая — AC, а стороны AC и BC пересекаются в C. Значит, высоты пересекаются в некоторой точке H. Чтобы доказать, что через H проходит и третья высота, можно провести через вершины параллельные противоположным сторонам прямые: полученные параллельные линии показывают, что прямая CH перпендикулярна AB. Так устанавливается теорема: все три высоты проходят через одну точку.
Расположение ортоцентра связано с тем, где лежат сами высоты. В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°, поэтому перпендикуляры из вершин попадают на стороны, а высоты пересекаются внутри. В прямоугольном треугольнике две стороны уже перпендикулярны: каждая из них является высотой, и они пересекаются в вершине прямого угла. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин приходится проводить к продолжениям противоположных сторон, поэтому точка их пересечения оказывается снаружи.
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: у них равны основания на одной стороне и общая высота. Если провести все три медианы, можно рассуждать о площадях маленьких треугольников, образованных этими линиями: такие площади равны. Из этого следует, что точка пересечения медиан делит каждую из них на части, отношение которых от вершины равно 2:1. Поэтому при известной длине медианы легко найти расстояние от вершины до центра тяжести.
Серединный перпендикуляр к отрезку проходит через его середину и перпендикулярен ему. Любая точка на нём одинаково удалена от концов отрезка, поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех трёх вершин и служит центром описанной окружности. Биссектриса делит угол пополам, а каждая её точка равноудалена от сторон этого угла. Следовательно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника и является центром вписанной окружности.
Четыре замечательные точки связаны с разными элементами треугольника: высотами, медианами, серединными перпендикулярами и биссектрисами. В обычном треугольнике это разные точки, потому что линии, которыми они определяются, не совпадают. В равностороннем треугольнике симметрия делает высоты одновременно медианами, биссектрисами и серединными перпендикулярами. Поэтому все четыре центра оказываются в одной точке.
| Точка | Как определяется | Где расположена | Основное свойство |
|---|---|---|---|
| Ортоцентр | Пересечение высот | Внутри остроугольного, в вершине прямого угла прямоугольного, вне тупоугольного | Все три высоты проходят через одну точку |
| Центр тяжести | Пересечение медиан | Всегда внутри треугольника | Делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины |
| Центр описанной окружности | Пересечение серединных перпендикуляров к сторонам | Внутри остроугольного, на гипотенузе прямоугольного, вне тупоугольного | Равноудалён от всех вершин |
| Центр вписанной окружности | Пересечение биссектрис углов | Всегда внутри треугольника | Равноудалён от всех сторон |
Пользуйтесь таблицей, чтобы определить, какие линии нужно провести для поиска нужной точки. Затем проверьте её основное свойство: например, расстояния до вершин у центра описанной окружности должны быть равны. Столбец с расположением помогает оценить, где искать точку в зависимости от вида треугольника.
Задача 1. В треугольнике ABC высоты AD и BE пересекаются в точке H. Докажите, что прямая CH также является высотой. Нужно доказать, что CH перпендикулярна AB, поскольку AB — сторона, противоположная вершине C. Применим теорему о пересечении высот, а не будем пытаться выводить направление прямой из одного только рисунка.
Ответ: CH ⟂ AB, поэтому CH является высотой треугольника ABC. Этот вывод опирается на теорему о том, что три высоты проходят через одну точку.
Задача 2. Определите положение ортоцентра треугольника со сторонами 5, 12 и 13. Сначала выясним вид треугольника: наибольшая сторона может быть гипотенузой, если квадрат её длины равен сумме квадратов длин двух других сторон. После этого положение ортоцентра можно определить по виду треугольника.
Ответ: ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. Численные значения сторон нужны здесь, чтобы распознать вид треугольника.
Задача 3. В треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке G. Найдите AG, если AM = 15 см. Точка G — центр тяжести, а он делит медиану не пополам: отрезок от вершины до G вдвое длиннее отрезка от G до середины стороны. Поэтому для нахождения AG нужно взять две трети всей медианы.
Ответ: AG = 10 см. Оставшаяся часть медианы GM равна 5 см, что проверяет отношение 2:1.
Называть высотой только отрезок, целиком лежащий внутри треугольника, — ошибка: в тупоугольном треугольнике высота может падать на продолжение стороны. Так думают, если ориентируются только на привычный остроугольный рисунок. Проверяйте определение: высота должна выходить из вершины и быть перпендикулярной прямой противоположной стороны.
Считать, что ортоцентр всегда находится внутри треугольника, тоже неверно. Это предположение часто возникает потому, что в большинстве учебных чертежей изображён остроугольный треугольник. Сначала определите вид треугольника: у тупоугольного ортоцентр снаружи, а у прямоугольного — в вершине прямого угла.
Ортоцентр нельзя путать с центром описанной или вписанной окружности: все три точки находятся как пересечения линий, но линии разные. Ошибка появляется, когда запоминают только слова «центр» и «пересечение». Для проверки назовите определяющие линии: высоты, серединные перпендикуляры или биссектрисы.
При делении медианы некоторые применяют отношение 1:2, считая большую часть от центра тяжести к середине стороны. Причина — неверно выбранное направление отсчёта. Проверяйте запись: от вершины до центра тяжести приходится 2 части, от центра до середины стороны — 1, то есть AG:GM = 2:1.
Для этой темы нужны определения высоты, медианы, биссектрисы и серединного перпендикуляра, а также свойства перпендикулярных и параллельных прямых. Эти знания применяются в доказательствах свойств треугольников и задачах на длины медиан и высот. Они также помогают при изучении окружностей и координатного метода. Позже с их помощью исследуют взаимное расположение замечательных точек и строят геометрические фигуры.
Почему достаточно найти пересечение только двух высот?
По теореме о пересечении высот третья высота тоже проходит через точку пересечения первых двух. Поэтому достаточно построить две высоты, чтобы найти ортоцентр.
Может ли ортоцентр находиться вне треугольника?
Да. В тупоугольном треугольнике две высоты проходят по продолжениям сторон, и их пересечение оказывается вне треугольника. В остроугольном ортоцентр внутри, а в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла.
Чем ортоцентр отличается от центра описанной окружности?
Ортоцентр — точка пересечения высот, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Эти точки определяются разными прямыми и обычно не совпадают.
Почему центр тяжести делит медиану именно в отношении 2:1?
Это следует из геометрии треугольника: медианы образуют треугольники, подобные исходному, и их пересечение делит каждую медиану в одинаковом отношении. Больший отрезок расположен от вершины до центра тяжести, поэтому AG:GM = 2:1.
В каком треугольнике четыре замечательные точки совпадают?
В равностороннем треугольнике совпадают ортоцентр, центр тяжести, центр описанной окружности и центр вписанной окружности. Благодаря равенству сторон и углов высоты, медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры проходят по одним и тем же линиям.
§ 36. Теорема о пересечении высот треугольника. Четыре замечательные точки треугольника
