§ 37. Площадь правильного многоугольника

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Соединив его центр с вершинами, можно получить одинаковые треугольники. Это позволяет найти площадь всей фигуры, сложив площади треугольников.

Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин. Он является центром окружности, проходящей через вершины, — описанной окружности. Центр нужен, чтобы разбить многоугольник на равные части и работать с их общей вершиной.

Апофема правильного многоугольника — перпендикуляр, опущенный из центра на сторону. Она равна радиусу вписанной окружности и служит высотой треугольника, основанием которого является сторона многоугольника. Поэтому апофема участвует в формуле площади.

Периметр правильного многоугольника — сумма длин всех его сторон. Обозначим периметр буквой P, длину стороны — a, а число сторон — n. Тогда P = na: это соотношение помогает перейти от длины одной стороны к общей длине всех оснований центральных треугольников.

Как это устроено

Проведём из центра отрезки ко всем вершинам. Получится n треугольников, и каждый будет равнобедренным: две его стороны — радиусы описанной окружности. Центральные углы равны, потому что вместе они составляют полный угол 360°, а из-за равенства сторон многоугольника основания треугольников тоже равны. Поэтому треугольники равны между собой, а площадь многоугольника складывается из их площадей.

Рассмотрим один такой треугольник. Его основание — сторона многоугольника, а высота, проведённая из центра к этому основанию, перпендикулярна ему. По определению это апофема. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: если сторона равна a, а апофема — r, то площадь одной части равна ar/2.

Чтобы получить площадь всей фигуры, нужно сложить площади всех центральных треугольников. В этой сумме каждый отрезок-основание встречается один раз, поэтому сумма оснований равна периметру P. Высота у всех треугольников одна и та же — апофема r. Значит, сумму можно записать сразу: S = P·r/2. Деление на 2 появляется из формулы площади каждого треугольника.

Если известны число сторон n и сторона a, то сначала находят периметр: P = na. После этого формула принимает вид S = nar/2. Но знание только n и a ещё не даёт готового численного ответа: необходимо знать апофему или иметь способ её вычислить, например по радиусу описанной окружности.

Можно обойтись без апофемы, если известны число сторон n и радиус описанной окружности R. Центральный треугольник имеет две стороны длиной R и угол между ними 2π/n, поскольку полный круг делится на n равных углов. Площадь такого треугольника равна R²·sin(2π/n)/2. Умножив её на n, получаем S = nR²·sin(2π/n)/2; если задана также сторона a, она помогает проверить данные или найти апофему.

Формулы площади правильного многоугольника

Сначала выбери строку, соответствующую известным данным. Для формулы через периметр и апофему проверь, что подставляешь именно расстояние до стороны, а не радиус до вершины. Если апофемы нет, но известны n и R, используй формулу через центральные треугольники.

Разбор задач

1. Правильный шестиугольник со стороной 4 см и апофемой 2√3 см

Чтобы применить формулу площади, сначала найдём периметр. В условии дана сторона и число сторон, поэтому апофема уже известна и дополнительных построений не требуется.

1. У шестиугольника n = 6, а сторона a = 4 см.
2. Вычислим периметр: P = na = 6·4 = 24 см.
3. Подставим периметр и апофему r = 2√3 см в формулу: S = P·r/2 = 24·2√3/2 = 24√3 см².

Ответ: 24√3 см².

2. Квадрат со стороной 6 см

Квадрат — правильный четырёхугольник. Для общей формулы нужна апофема, то есть расстояние от центра до стороны; центр квадрата одинаково удалён от всех сторон и находится посередине квадрата.

1. Число сторон n = 4, сторона a = 6 см, поэтому периметр P = 4·6 = 24 см.
2. Расстояние от центра до стороны равно половине стороны: r = 6/2 = 3 см. Это следует из того, что перпендикуляр от центра к стороне попадает в её середину.
3. Найдём площадь: S = P·r/2 = 24·3/2 = 36 см².

Ответ: 36 см². Результат совпадает с известной формулой площади квадрата a² = 6².

3. Правильный пятиугольник со стороной 8 см и радиусом описанной окружности 6 см

Здесь апофема не дана, поэтому разобьём пятиугольник на центральные треугольники и найдём их площади. У каждого треугольника две стороны равны радиусу 6 см, а угол между ними определяется числом сторон.

1. Пятиугольник делится на n = 5 одинаковых треугольников. Центральный угол равен 360°/5 = 72°.
2. Площадь одного треугольника: S₁ = ½·6·6·sin 72° = 18 sin 72° см².
3. Сложим площади пяти треугольников: S = 5S₁ = 90 sin 72° ≈ 85,6 см². Длина стороны 8 см согласуется с радиусом: хорда при угле 72° имеет длину 12 sin 36° ≈ 7,1 см, а не 8 см.

Ответ: по заданному радиусу площадь составляет примерно 85,6 см², однако данные задачи несовместимы: сторона правильного пятиугольника с радиусом 6 см должна быть около 7,1 см. Значит, фигуры с обоими указанными размерами не существует.

Типичные ошибки

Подставляют вместо апофемы радиус описанной окружности, потому что оба отрезка начинаются в центре. Но радиус идёт к вершине, а апофема перпендикулярна стороне. Проверь чертёж или описание данных: высота центрального треугольника должна попадать именно на сторону.

Забывают деление на 2 в формуле S = P·r/2. Ошибка возникает, если периметр сразу умножают на высоту, не вспоминая формулу площади треугольника. Для самопроверки запиши площадь одной части как основание, умноженное на высоту и делённое на 2, а затем сложи части.

Иногда площадь одного центрального треугольника умножают на число сторон и одновременно используют весь периметр в роли основания этого треугольника. Так периметр учитывается повторно: у одной части основание — одна сторона, а весь периметр появляется только после сложения оснований всех частей. Проверь, соответствуют ли используемые основание и число треугольников одному способу подсчёта.

Считают, что для площади достаточно знать длину стороны. Но сторона не сообщает ни число сторон, ни высоту центрального треугольника. Уточни, известны ли n и данные для нахождения апофемы или радиуса; если их нет, площадь однозначно вычислить нельзя.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужны знакомые свойства равнобедренных треугольников и формула площади треугольника через основание и высоту. Периметр связывает длину одной стороны с суммой оснований всех частей. Апофема относится к вписанной окружности, а расстояние от центра до вершины — к описанной, поэтому тема объединяет свойства многоугольников и окружностей. Эти знания пригодятся, когда нужно вычислять площадь составной фигуры из правильных многоугольников.

Что запомнить

• Правильный многоугольник можно разбить на равные треугольники с общей вершиной в центре.
• Апофема — высота центрального треугольника, проведённая к стороне многоугольника.
• Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на апофему: S = P·r/2.
• Если сторона равна a, а число сторон равно n, то P = na.
• Радиус описанной окружности и апофема — разные отрезки.
• Для нахождения площади по стороне необходимо знать или уметь вычислить апофему.