"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Круг — часть плоскости внутри окружности, а его площадь показывает, сколько места занимает эта фигура. Площадь круга нужна при решении задач о дисках, колёсах, круглых площадках и деталях. Главная формула — S = πr²: чтобы найти площадь, возводят радиус в квадрат и умножают на π. Если известен диаметр или длина окружности, их сначала связывают с радиусом. Для сектора учитывают, какую часть полного угла он занимает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность — только замкнутая линия, а круг включает и линию, и всё внутри неё. Это различие помогает не путать длину границы с размером всей фигуры. Для окружности находят длину, а для круга — площадь.
Радиус круга — отрезок от его центра до точки границы; его обозначают буквой r. Все радиусы одного круга равны, поэтому достаточно знать один из них, чтобы описать размер фигуры. Радиус используют в основной формуле площади. Если дан диаметр, его сначала делят на два.
Площадь круга — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается в круге; её обозначают S. Например, площадь в квадратных сантиметрах показывает, сколько квадратов со стороной 1 см соответствует поверхности круга. Площадь не измеряют в сантиметрах или метрах без второй степени. Единицы записи — см², м² и другие квадратные единицы.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру, то есть C/d. Для любой окружности это отношение одинаково, а его приближённое значение равно 3,14. Число π связывает размеры круга с длиной его границы. В ответе часто оставляют π, чтобы записать точное значение без преждевременного округления.
Площадь круга можно понять через правильные многоугольники — фигуры с равными сторонами и углами. Впишем в круг многоугольник и будем увеличивать число его сторон: его граница всё точнее повторяет окружность, а площадь приближается к площади круга снизу. Если описать около круга правильный многоугольник, его площадь будет больше площади круга и при росте числа сторон тоже будет приближаться к ней. Значит, площадь круга оказывается между двумя всё более близкими оценками.
Чтобы увидеть формулу, разделим круг на много узких секторов и мысленно расположим их попеременно вершинами вверх и вниз. Получится фигура, похожая на прямоугольник: её высота равна радиусу r, а длина основания приближается к половине длины окружности. Половина окружности равна πr, потому что C = 2πr. Поэтому площадь приближённой фигуры равна r · πr = πr², а при всё более мелком делении эта запись даёт площадь круга: S = πr².
Формулы через диаметр и длину окружности получаются заменой известной величины. Так как d = 2r, то r = d/2; подставляем это в S = πr² и получаем S = π(d/2)² = πd²/4. Если дана длина окружности C, используем C = 2πr, откуда πr = C/2. Тогда S = πr² = r · (πr) = Cr/2. Обе формулы описывают ту же площадь, но удобны при разных исходных данных.
Радиус влияет на площадь не так, как на длину: площадь зависит от квадрата радиуса. Если новый радиус равен kr, то новая площадь равна π(kr)² = k²πr². Поэтому при увеличении радиуса в 3 раза площадь вырастет в 9 раз, а при уменьшении вдвое станет в 4 раза меньше. Такой вывод полезен, когда нужно сравнить площади без вычисления их численных значений.
Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности. Его площадь составляет такую же долю от площади круга, какую центральный угол сектора составляет от полного угла 360°. Поэтому при угле α в градусах Sсектора = (α/360°) · πr². Например, сектор с углом 90° занимает четверть круга, поскольку 90°/360° = 1/4.
| Что известно | Формула площади | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Радиус r | S = πr² | r — радиус круга |
| Диаметр d | S = πd²/4 | d — диаметр круга |
| Длина окружности C | S = Cr/2 | C — длина окружности, r — радиус |
| Радиус r и центральный угол α сектора | Sсектора = (α/360°) · πr² | α — угол в градусах, r — радиус |
Сначала определите, какая величина дана, и выберите соответствующую строку. Для формулы S = Cr/2 нужны и длина окружности, и радиус; если радиус не дан, его можно найти из C = 2πr. Для сектора дополнительно учитывают долю угла от 360°.
Задача 1. Радиус круга равен 5 см. Найдите его площадь. Здесь радиус уже известен, поэтому достаточно подставить его в формулу площади и не забыть, что единицы результата должны быть квадратными.
Ответ: 25π см², или приблизительно 78,5 см². Точное значение с π удобнее сохранить, если дальнейшие вычисления могут использовать этот результат. Квадратные сантиметры показывают, что найдена площадь.
Задача 2. Диаметр круга равен 12 см. Найдите площадь круга. В основной формуле стоит радиус, а в условии указан диаметр, поэтому сначала устанавливаем их связь. Диаметр состоит из двух радиусов, следовательно, r = d/2.
Ответ: 36π см², или приблизительно 113,04 см². Можно было сразу использовать S = πd²/4: π · 12²/4 = 36π см². Совпадение результатов служит проверкой вычисления.
Задача 3. Длина окружности равна 18π см. Найдите площадь круга. Здесь дана длина границы, а для площади удобнее знать радиус. Связь C = 2πr позволяет сначала найти его, после чего результат можно проверить формулой S = Cr/2.
Ответ: 81π см². В обоих способах получен одинаковый результат, значит, подстановка согласуется с формулами. Если требуется приближение, 81 · 3,14 = 254,34 см².
Подставляют диаметр вместо радиуса. Так происходит, когда обе величины называют просто «размером круга» и забывают, что d = 2r. Перед вычислением выпишите, что именно известно, и проверьте: радиус идёт от центра к границе, а диаметр проходит через центр от одной стороны границы до другой. Если дан d, найдите r = d/2 или используйте формулу через диаметр.
Записывают S = 2πr². Так смешивают формулу площади с формулой длины окружности C = 2πr. У длины окружности нет квадрата радиуса, а площадь равна πr². Проверяйте не только число, но и размерность: длина выражается в единицах длины, площадь — в квадратных единицах.
Забывают возвести радиус в квадрат. Это часто случается, когда радиус подставляют в выражение и сразу умножают на π. По формуле нужно считать π · r · r, а не π · r. Проверьте степень у r и запишите единицы в квадрате: например, для радиуса в сантиметрах ответ должен быть в см².
Слишком рано округляют π или промежуточные значения. Если округлить несколько раз, погрешности могут накапливаться, поэтому итог немного изменится. Сохраняйте выражение с π до последнего шага и только затем используйте 3,14 или нужную точность. Самопроверка: точный и приближённый ответы должны отличаться лишь округлением, а не способом вычисления.
Для вычисления площади полезны формулы длины окружности C = 2πr и связи диаметра с радиусом d = 2r: с их помощью можно перейти от одних исходных данных к другим. Понятие площади и формулы площадей многоугольников помогают понять, почему площадь круга приближают вписанными и описанными фигурами. Формула площади круга применяется при вычислении площадей секторов, колец и составных фигур. В таких задачах круг часто разбивают на знакомые части или вычитают площадь одной фигуры из другой.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает эту линию и всю область внутри неё. Поэтому у окружности измеряют длину, а у круга — площадь.
Почему в формуле площади радиус нужно возводить в квадрат?
Площадь измеряет двумерную величину, поэтому при изменении масштаба по длине меняются оба размера фигуры. Формула S = πr² учитывает это: радиус умножается сам на себя. Если радиус вырастает в k раз, площадь становится больше в k² раз.
Можно ли найти площадь круга, если известен только диаметр?
Да. Сначала разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус, а затем используйте S = πr². Можно сразу применить равносильную формулу S = πd²/4.
Как найти площадь круга, если известна длина окружности?
Из равенства C = 2πr найдите радиус: r = C/(2π). Затем вычислите площадь по формуле S = πr². Также можно воспользоваться формулой S = Cr/2.
Почему при увеличении радиуса в два раза площадь увеличивается в четыре раза?
В формуле S = πr² радиус возводится в квадрат. Если вместо r подставить 2r, получится S = π(2r)² = 4πr². Значит, площадь станет в четыре раза больше.
§ 38. Вычисление площади круга
