§ 39. Вычисление площади кругового сектора и сегмента

Определения и обозначения

Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Угол между радиусами называется центральным; обычно его обозначают α. Сектор нужен, когда требуется описать часть круга, похожую на кусок пирога, и вычислить её площадь по углу.

Круговой сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую эта хорда стягивает. Хорда соединяет две точки окружности, а дуга проходит по окружности между ними. Это определение помогает отличить сегмент от сектора: в границе сегмента есть хорда, а не два радиуса.

Площадь кругового сектора — часть площади круга, соответствующая доле центрального угла от полного угла 360°. Если угол равен половине полного, сектор занимает половину круга. Такое определение позволяет находить площадь сектора, не измеряя его границы по отдельности.

Площадь кругового сегмента — площадь части круга, отсекаемой хордой. Её выражают через площадь сектора и площадь треугольника, который образуют два радиуса и хорда. Этот способ удобен, потому что площади круга, сектора и треугольника можно вычислить известными формулами.

Как это устроено

В полном круге центральный угол равен 360°, и ему соответствует вся площадь круга. Если угол сектора меньше, дуга охватывает меньшую часть окружности, а радиусы ограничивают такую же долю круга. Поэтому отношение площади сектора к площади круга равно отношению его угла к 360°.

Площадь круга радиуса R равна πR². Обозначим площадь сектора через S, а его центральный угол — через α градусов: тогда S/πR² = α/360°. Умножив обе части пропорции на πR², получим формулу S = πR²α/360°. Угол нужно подставлять именно в градусах, а деление на 360 учитывает, что полный круг содержит 360°.

Чтобы найти площадь малого сегмента, представим соответствующий сектор как фигуру, состоящую из треугольника и сегмента. Треугольник образован двумя радиусами, а хорда служит его третьей стороной. Значит, если из площади сектора убрать площадь этого треугольника, останется только малый сегмент: Sсегмента = Sсектора − Sтреугольника.

Одна хорда делит круг на малый и большой сегменты: малый ограничен короткой дугой, а большой — длинной. Они вместе составляют весь круг, поэтому площадь большого сегмента равна площади круга минус площадь малого. Если искать большой сегмент через сектор с большим углом, из этого сектора тоже придётся вычесть площадь соответствующего треугольника.

До подстановки чисел внимательно прочитайте условие и найдите на схеме центр круга. Радиус идёт от центра до окружности, центральный угол расположен при центре, а хорда соединяет точки окружности. Затем определите, задан сектор или сегмент и требуется ли малая или большая часть: так станет ясно, какие площади складывать или вычитать.

Круговой сектор и круговой сегмент

Сначала посмотрите на границы фигуры: два радиуса указывают на сектор, хорда и дуга — на сегмент. Затем выберите нужный способ вычисления и проверьте, известны ли все необходимые величины. Для большого сегмента удобно использовать площадь всего круга и вычесть площадь малого.

Разбор задач

Задача 1. Радиус круга равен 6 см, центральный угол сектора — 60°. Найдите площадь сектора.

1. Площадь всего круга равна πR² = π · 6² = 36π см².
2. Угол 60° составляет 60/360 = 1/6 полного угла. Значит, сектор занимает одну шестую часть круга.
3. Вычисляем площадь: S = 36π · 1/6 = 6π см².

Ответ: 6π см², или примерно 18,85 см². Мы сначала нашли площадь целого круга, потому что сектор представляет собой её долю. Умножение на долю угла позволяет не вычислять длину дуги отдельно.

Задача 2. Радиус круга равен 10 см, центральный угол малого сегмента — 90°. Найдите площадь сегмента.

1. Площадь сектора с углом 90° равна π · 10² · 90/360 = 25π см².
2. Два радиуса образуют угол 90°, поэтому треугольник внутри сектора прямоугольный. Его катеты — радиусы по 10 см, а площадь равна 10 · 10/2 = 50 см².
3. Вычитаем площадь треугольника из площади сектора: Sсегмента = 25π − 50 см².

Ответ: 25π − 50 см², или примерно 28,54 см². Вычитание оставляет только область между хордой и малой дугой. Приближённый результат положительный, что служит дополнительной проверкой вычислений.

Задача 3. Радиус круга равен 8 см, центральный угол малого сегмента — 120°. Найдите площадь большого сегмента.

1. Площадь круга равна π · 8² = 64π см². Площадь сектора с углом 120° равна 64π · 120/360 = 64π/3 см².
2. Треугольник между радиусами и хордой равнобедренный. Высота к хорде делит угол 120° пополам, а половину хорды на отрезки длиной 4 см; высота равна 4√3 см.
3. Площадь треугольника равна ½ · 8 · 4√3 = 16√3 см². Площадь малого сегмента: 64π/3 − 16√3 см².
4. Вычитаем эту площадь из площади круга: Sбольшого = 64π − (64π/3 − 16√3) = 128π/3 + 16√3 см².

Ответ: 128π/3 + 16√3 см², примерно 161,8 см². Сначала была найдена именно малая часть у угла 120°, затем использовано то, что оба сегмента вместе составляют круг. Поэтому результат для большого сегмента должен быть больше половины площади круга.

Типичные ошибки

Если в формуле S = πR²α/360° подставить угол, но забыть разделить на 360°, получится площадь, несоразмерная площади круга. Так бывает, когда формулу запоминают как обычное произведение. Проверьте, что результат сектора не больше πR², а при угле меньше 360° он меньше площади круга.

Сектор иногда называют сегментом, потому что обе фигуры ограничены дугой. Но границы у них разные: у сектора есть два радиуса, у сегмента — хорда. Перед выбором формулы мысленно обведите границу искомой фигуры и проверьте, входит ли в неё треугольник.

Для малого сегмента нужно вычитать площадь треугольника из площади сектора, а не складывать их. Ошибка возникает, если забыть, что треугольник и сегмент вместе образуют сектор. Проверка простая: площадь малого сегмента должна быть меньше площади соответствующего сектора.

Большой сегмент нельзя принять за один только сектор с большим углом: внутри такого сектора также находится треугольник. Иногда этот треугольник не вычитают, потому что видят, что сектор уже больше искомой части. Найдите площадь большого сегмента как площадь круга минус малый сегмент или вычтите треугольник из большого сектора.

Связь с другими темами

Для вычисления сектора нужна формула площади круга S = πR² и знание, что полный центральный угол равен 360°. Площадь сегмента дополнительно связывает тему с площадью треугольника: в некоторых задачах треугольник прямоугольный, и тогда подходит формула S = ab/2. Также полезно распознавать на схеме радиусы, хорды и углы.

Эти способы применяются в задачах на составные фигуры, где круг соединён с треугольником или другими частями. Они помогают вычислять площади участков, ограниченных дугами и хордами. Умение разделить сложную фигуру на простые части подсказывает, какие площади нужно сложить или вычесть.

Что запомнить

• Площадь круга радиуса R равна πR².
• Площадь сектора составляет α/360 долю площади круга.
• Площадь сектора равна πR²α/360°, если α задан в градусах.
• Площадь малого сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника.
• Площадь большого сегмента можно найти как разность площади круга и малого сегмента.
• Перед вычислениями определи, какая именно часть круга изображена на рисунке.