"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
У правильного треугольника со стороной a высота и радиусы обеих окружностей выражаются через одну величину: h = a√3/2, r = a√3/6, R = a√3/3. Эти формулы позволяют быстро находить нужные элементы, если известна сторона, или восстанавливать сторону по радиусу. Разобраться в них помогают прямоугольный треугольник, теорема Пифагора и то, как центр окружностей делит высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Из равенства сторон следует, что равны и все три угла: каждый составляет 60°. Это свойство позволяет использовать одинаковые рассуждения для любой вершины и стороны.
Высота правильного треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к противоположной стороне. Сторону обозначим буквой a, а высоту — h. Высота нужна, чтобы находить расстояние от вершины до основания и вычислять площадь треугольника.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника — расстояние от центра этой окружности до любой стороны; обозначим его r. Центр равноудалён от всех трёх сторон, поэтому одного такого расстояния достаточно для описания окружности относительно треугольника.
Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины правильного треугольника; обозначим его R. Все вершины равноудалены от центра, поэтому радиус можно провести к любой из них. Буквы r и R обозначают разные расстояния, и смешивать их нельзя.
Проведём высоту из вершины к противоположной стороне. В правильном треугольнике она является не только перпендикуляром, но и медианой, то есть делит основание пополам; это следует из равенства двух боковых сторон и симметрии фигуры. Кроме того, высота делит угол 60° пополам. Поэтому одна половина треугольника — прямоугольный треугольник с катетами h и a/2, а его гипотенуза равна стороне a.
Теперь применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Получаем h² + (a/2)² = a², или h² = a² − (a/2)² = 3a²/4. Длина высоты положительна, поэтому извлекаем положительный квадратный корень: h = a√3/2. Множитель 1/2 возникает именно из вычисления половины основания, а не из изменения стороны исходного треугольника.
Центры вписанной и описанной окружностей у правильного треугольника совпадают. Эта точка лежит на каждой высоте: она равноудалена от сторон и от вершин, а благодаря симметрии треугольника пересечения соответствующих высот и биссектрис оказываются одной точкой. Поэтому отрезки радиусов можно рассматривать прямо на одной высоте, не строя отдельную схему для каждой окружности.
Центр делит высоту не пополам: точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, если отсчитывать сначала от вершины. Нижняя часть высоты, от центра до стороны, равна r, а верхняя часть, от вершины до центра, равна R. Значит, вся высота состоит из трёх равных долей: r занимает одну долю, R — две, откуда r = h/3 и R = 2h/3.
Подставляя h = a√3/2 в эти равенства, получаем r = a√3/6 и R = a√3/3. Эти формулы относятся к длинам, поэтому сторона должна быть положительной: a > 0. Из них сразу следуют удобные проверки: R = 2r и h = 3r.
| Величина | Обозначение | Выражение через a | Связь с высотой |
|---|---|---|---|
| Высота | h | a√3/2 | h |
| Радиус вписанной окружности | r | a√3/6 | r = h/3 |
| Радиус описанной окружности | R | a√3/3 | R = 2h/3 |
Если известна сторона, выберите в таблице нужную величину и подставьте значение a в соответствующую формулу. Если уже найдена высота, используйте столбец «Связь с высотой». Для быстрой проверки найденных радиусов сравните их: описанный радиус должен быть вдвое больше вписанного.
Сторона правильного треугольника равна 8 см. Найдём высоту. Здесь известна сторона, поэтому удобнее сразу применить формулу h = a√3/2, полученную из теоремы Пифагора.
Ответ: 4√3 см. Высота выражена в тех же единицах, что и сторона.
Сторона правильного треугольника равна 12 см. Требуется найти оба радиуса. Поскольку сторона известна, можно воспользоваться готовыми формулами, а затем проверить отношение между результатами.
Ответ: r = 2√3 см, R = 4√3 см. Проверка подтверждает, что радиусы не перепутаны и вычислены согласованно.
Радиус вписанной окружности равен 5√3 см. Найдём сторону, высоту и радиус описанной окружности. Сначала выразим сторону из формулы для r, а потом используем связи высоты и радиусов.
Ответ: сторона равна 30 см, высота — 15√3 см, описанный радиус — 10√3 см. Полученные значения согласуются с формулами h = 3r и R = 2r.
Можно перепутать радиусы: r относится к вписанной окружности, а R — к описанной. Ошибка возникает потому, что обе величины измеряются от одного центра. Проверяйте, куда проведён радиус: до стороны — это r, до вершины — R; в правильном треугольнике также должно быть R = 2r.
Иногда центр считают серединой высоты и получают r = h/2. Так бывает, если забыть, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1 от вершины. Разделите высоту на три равные части: одна часть даёт r, две — R. Проверкой служат равенства h = 3r и R = 2r.
При поиске высоты можно потерять множитель 1/2 или принять половину основания за сторону всего треугольника. Множитель появляется потому, что высота делит основание пополам, так что катет прямоугольного треугольника равен a/2. Запишите теорему Пифагора h² + (a/2)² = a² и проверьте, что в ответе получилось h = a√3/2.
В формулах радиусов ошибаются в знаменателе, например записывают r = a√3/3. Обычно причина — смешение r и R или неверное деление высоты. Сверьте результат с выводом r = h/3 и R = 2h/3; подстановка должна дать R = 2r и h = 3r.
Для вывода формул нужны теорема Пифагора, свойства равностороннего треугольника и определения вписанной и описанной окружностей. Если известно, что высота делит основание пополам, задачу можно свести к прямоугольному треугольнику; знание свойств центра объясняет, как связаны высота и радиусы.
Полученные соотношения полезны при вычислении площади правильного треугольника: площадь находится как половина произведения стороны на высоту. Они также упрощают задачи об окружностях и правильных многоугольниках, где требуется связать сторону фигуры с радиусом окружности.
Почему высота правильного треугольника делит противоположную сторону пополам?
В правильном треугольнике высота одновременно является медианой. Медиана по определению соединяет вершину с серединой противоположной стороны, поэтому делит эту сторону на два равных отрезка.
Как получить формулу высоты через сторону?
Высота образует прямоугольный треугольник с гипотенузой a и катетом a/2. По теореме Пифагора h² = a² − (a/2)² = 3a²/4, поэтому h = a√3/2.
Почему радиус вписанной окружности равен одной трети высоты?
Центр окружностей правильного треугольника лежит на высоте и делит её в отношении 2:1, считая от вершины. Нижний отрезок, от центра до стороны, равен r, а вся высота состоит из трёх таких частей: h = 3r.
Чем радиус описанной окружности отличается от радиуса вписанной?
Радиус вписанной окружности r — это расстояние от центра до стороны, а радиус описанной окружности R — расстояние от центра до вершины. В правильном треугольнике R вдвое больше r.
Как проверить, что найденные радиусы вычислены верно?
Сравните радиусы: должно выполняться R = 2r. Также проверьте, что высота равна h = 3r и что оба радиуса выражаются через сторону формулами r = a√3/6 и R = a√3/3.
§ 32. Выражение высоты правильного треугольника, радиусов вписанной в него и описанной около него окружностей через его сторону
