§ 31. Треугольники, описанные около окружности

Определения и обозначения

Описанная около треугольника окружность в этой теме — окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника. Она расположена внутри треугольника, а стороны служат для неё касательными. Это определение помогает сразу понять, какие элементы фигуры связаны: стороны, точки касания и радиусы.

Вписанная в треугольник окружность лежит внутри треугольника и касается каждой его стороны. Это та же окружность, что описана около треугольника, только название выбирают с точки зрения самой окружности. Не следует путать её с окружностью, проходящей через вершины треугольника.

Точка касания — точка, в которой окружность касается стороны. Если O — центр окружности, а T — точка касания, то OT — радиус, проведённый в точку касания. Такое обозначение удобно, потому что отрезок OT образует прямой угол со стороной.

Касательные, проведённые из одной точки к окружности, — это отрезки от этой точки до точек касания. Например, если из вершины A проведены касательные к окружности, их отрезки до точек касания равны. Это свойство позволяет обозначать их одной переменной и связывать со сторонами треугольника.

Как это устроено

Если окружность касается всех сторон треугольника и лежит внутри него, каждую сторону можно считать касательной к окружности. Именно поэтому такой треугольник называют описанным около окружности. Слова «около» и «вписанная» описывают одну и ту же пару фигур с разных точек зрения: треугольник охватывает окружность, а окружность находится в треугольнике. У окружности, проходящей через вершины, отношения обратные: треугольник вписан в неё.

Центр окружности, касающейся двух сторон угла, равноудалён от этих сторон. Расстояние от точки до прямой измеряют длиной перпендикуляра, поэтому радиусы, опущенные из центра на стороны, равны. По свойству биссектрисы точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Значит, центр окружности, касающейся всех трёх сторон, лежит на биссектрисах углов треугольника.

Биссектрисы двух внутренних углов треугольника пересекаются внутри него. Точка их пересечения равноудалена от сторон каждого из этих углов, а значит, равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Если из этой точки опустить перпендикуляр на любую сторону, полученная длина будет радиусом окружности, касающейся всех сторон. Поэтому третья биссектриса также проходит через эту точку: она и есть центр вписанной окружности.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это свойство можно понять так: кратчайший отрезок от точки до прямой — перпендикуляр, а радиус до точки касания как раз задаёт расстояние от центра до стороны. Поэтому при проведении такого радиуса возникает прямоугольный треугольник. Прямой угол помогает применять теорему Пифагора или свойства прямоугольных треугольников.

Из одной вершины к окружности идут две касательные — вдоль двух прилегающих сторон, и их отрезки до точек касания равны. Обозначим такие отрезки от вершин A, B и C буквами x, y и z. Тогда сторона AB равна x + y, BC равна y + z, а CA равна z + x: каждая сторона состоит из двух отрезков между вершинами и точками касания. Складывая стороны, получаем периметр P = 2(x + y + z), что позволяет находить неизвестные длины.

Свойства треугольника, описанного около окружности

Сначала определите, какие отрезки выходят из одной вершины: именно они равны. Затем выразите каждую сторону как сумму отрезков у её концов. Для проверки периметра можно сложить три стороны и убедиться, что каждый отрезок касательной учтён дважды.

Разбор задач

1. Где находится центр окружности?

В треугольнике проведены биссектрисы двух углов. Нужно определить, где находится центр окружности, касающейся всех сторон, и обосновать ответ. Ищем точку, равноудалённую от трёх сторон: именно такое расстояние станет радиусом. Для этого используем свойство биссектрис и их пересечения.

1. Обозначим точку пересечения двух биссектрис буквой O. Она находится внутри треугольника.
2. Точка O лежит на биссектрисе каждого из двух углов, поэтому равноудалена от сторон этих углов. Эти стороны вместе составляют все три стороны треугольника.
3. Опустим из O перпендикуляры на стороны. Их длины равны, поэтому окружность с центром O и радиусом, равным этой длине, касается всех сторон.
4. Следовательно, O — центр окружности, касающейся сторон, а третья биссектриса проходит через O.

Ответ: центр находится в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

2. Равные касательные

Окружность касается сторон треугольника, а отрезок касательной от одной вершины равен 4 см. Нужно найти соответствующий отрезок касательной от той же вершины к другой стороне. Здесь не требуется искать сторону целиком: оба отрезка выходят из одной точки и относятся к одной окружности. Значит, применяем равенство касательных.

1. Обозначим вершину, из которой проведены касательные, буквой A, а точки касания — T₁ и T₂.
2. Отрезки AT₁ и AT₂ — касательные, проведённые из одной точки A к окружности.
3. По свойству касательных AT₁ = AT₂. Если AT₁ = 4 см, то AT₂ тоже равен 4 см.

Ответ: 4 см.

3. Периметр и отрезки касательных

Периметр треугольника равен 30 см; один отрезок касательной от вершины равен 6 см. Отрезки от двух других вершин равны. Пусть каждый из них равен x. Стороны нужно выразить как суммы отрезков от соседних вершин, иначе условие о периметре не даст нужного уравнения.

1. Обозначим длины отрезков от трёх вершин буквами a, b, c. По условию a = 6, а отрезки от двух других вершин равны, то есть b = c = x.
2. Стороны равны a + b, b + c и c + a. Поэтому периметр P = 2(a + b + c).
3. Подставим данные: 30 = 2(6 + x + x). Разделим обе части на 2: 15 = 6 + 2x.
4. Вычтем 6: 2x = 9, значит, x = 4,5 см.

Ответ: отрезки касательных от двух других вершин равны 4,5 см каждый.

Типичные ошибки

Путать треугольник, описанный около окружности, с треугольником, вписанным в окружность. Названия легко перепутать, если не смотреть, какая фигура находится внутри другой. Проверьте себя: в описанном треугольнике стороны касаются окружности, а во вписанном вершины лежат на окружности.

Считать центр окружности точкой пересечения высот или серединных перпендикуляров. Эти линии связаны с другими центрами треугольника, поэтому привычное правило здесь не подходит. Проверьте, какое условие задаёт центр: он равноудалён от сторон, значит, нужно искать пересечение биссектрис.

Провести радиус к точке касания, но забыть, что он перпендикулярен стороне. Тогда теряется прямой угол и становится сложнее составить нужное соотношение. Отметьте прямой угол у точки касания и проверьте, что проведён именно радиус, а не произвольный отрезок от центра.

Приравнивать отрезки касательных, проведённых из разных вершин. Равенство действует только для двух касательных, которые исходят из одной и той же точки, а не для любых отрезков на сторонах. Перед записью равенства укажите общую вершину или точку, из которой проведены обе касательные.

Связь с другими темами

Для нахождения центра вписанной окружности нужно знать определение биссектрисы и её свойство: точки на биссектрисе равноудалены от сторон угла. При вычислениях пригодится и свойство касательной: радиус к точке касания перпендикулярен ей. В задачах о периметре эти знания соединяются с равенством касательных из одной точки. Они также нужны при геометрических построениях, когда требуется вписать окружность в треугольник.

Что запомнить

• Окружность, касающаяся всех сторон треугольника изнутри, вписана в него.
• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис внутренних углов.
• Радиус к точке касания перпендикулярен стороне.
• Отрезки касательных из одной точки к окружности равны.
• Сторона треугольника складывается из отрезков касательных от двух её концов.
• Периметр описанного около окружности треугольника равен удвоенной сумме отрезков касательных от его вершин.