§ 30. Треугольники, вписанные в окружность

Определения и обозначения

Треугольник называют вписанным в окружность, если все три его вершины лежат на этой окружности. Саму окружность в таком случае называют описанной около треугольника. Это определение помогает отличить вписанный треугольник от других фигур, связанных с окружностью. Его стороны являются хордами, а вершины — точками окружности.

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три его вершины. Её центр обычно обозначают буквой O, а радиус — буквой R. Такая окружность существует для любого треугольника и единственна. По ней удобно связывать стороны и углы треугольника с расстоянием до его вершин.

Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех трёх вершин треугольника. Геометрически это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Поэтому центр можно найти построением, а не только определить по готовой окружности. Равные расстояния от O до вершин позволяют провести окружность через все три точки.

Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины треугольника, его обозначают R. Так как центр равноудалён от вершин, расстояние до каждой из них одинаково. Радиус связан с длиной стороны a и противолежащим ей углом A формулой a = 2R sin A. Эта связь позволяет находить радиус, сторону или угол, если известны остальные величины.

Как это устроено

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; сторона вписанного треугольника как раз является хордой. Центр окружности равноудалён от концов любой хорды, поскольку эти расстояния являются радиусами. А всякая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Поэтому серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр.

Рассмотрим две стороны треугольника, например AB и AC, и точку O пересечения их серединных перпендикуляров. Поскольку O лежит на перпендикуляре к AB, выполняется OA = OB; для стороны AC аналогично получаем OA = OC. Значит, OA = OB = OC, и окружность с центром O и радиусом OA проходит через A, B и C. Так доказывают, что пересечения двух таких перпендикуляров достаточно для нахождения центра описанной окружности.

Положение центра зависит от величин углов треугольника. В остроугольном треугольнике он находится внутри: серединные перпендикуляры пересекаются в области, ограниченной сторонами. В прямоугольном треугольнике центр оказывается на середине гипотенузы, а в тупоугольном — вне треугольника. Поэтому искать центр только внутри фигуры нельзя.

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин: она является серединой отрезка между концами гипотенузы и одновременно центром окружности через вершины. Отрезок гипотенузы проходит через этот центр, а оба его конца лежат на окружности. Следовательно, гипотенуза является диаметром. Если её длина c, то диаметр равен c, а радиус R = c / 2.

Для стороны a, лежащей против угла A, справедливо соотношение a = 2R sin A. Оно следует из связи хорды окружности с центральным углом, который опирается на ту же хорду: центральный угол вдвое больше вписанного. Для практических вычислений формулу можно преобразовать: R = a / (2 sin A), а sin A = a / (2R). Сначала проверь, что сторона и угол действительно противолежат друг другу, затем подставляй значения.

Положение центра описанной окружности и радиус

Пользуйся таблицей сначала для определения положения центра по виду треугольника, а затем выбирай подходящую связь для вычислений. В прямоугольном треугольнике радиус можно найти по гипотенузе; для стороны и противолежащего угла подходит формула через синус.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC проведены серединные перпендикуляры к AB и AC. Докажите, что их точка пересечения равноудалена от A, B и C. Начнём с обозначения точки пересечения через O и используем свойство каждой из двух прямых. Нужно показать равенство трёх расстояний, а не только подтвердить, что O равноудалена от концов одной стороны.

1. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AB, то OA = OB.
2. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то OA = OC.
3. Из двух равенств следует OA = OB = OC. Значит, O равноудалена от всех вершин и является центром окружности, проходящей через A, B и C.

Ответ. Точка пересечения равноудалена от A, B и C, потому что принадлежит серединным перпендикулярам к AB и AC. Окружность с центром O и радиусом OA проходит через все вершины. Значит, она описана около треугольника ABC.

Задача 2. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу 14 см. Найдите радиус описанной окружности. Здесь не нужно искать катеты или строить окружность: достаточно установить, какой отрезок служит её диаметром. В прямоугольном треугольнике эту роль выполняет гипотенуза.

1. Обозначим длину гипотенузы через c: c = 14 см.
2. Гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому диаметр равен 14 см.
3. Радиус вдвое меньше диаметра: R = 14 / 2 = 7 см.

Ответ. Радиус описанной окружности равен 7 см. Проверка: два радиуса составляют диаметр, то есть гипотенузу длиной 14 см. Катет для этого вычисления не нужен.

Задача 3. В треугольнике сторона длиной 8 см лежит против угла 30°. Найдите радиус описанной окружности. Сторона и указанный угол являются противолежащими, поэтому можно применить формулу a = 2R sin A. Выразим из неё радиус и подставим данные.

1. Запишем известные величины: a = 8 см, A = 30°.
2. Из a = 2R sin A получаем R = a / (2 sin A).
3. Подставим sin 30° = 1/2: R = 8 / (2 · 1/2) = 8 см.

Ответ. Радиус описанной окружности равен 8 см. Результат получен при правильном сопоставлении стороны и противолежащего угла. Если бы был взят другой угол, формула не описывала бы заданную сторону.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что центр описанной окружности обязательно находится внутри треугольника. Так думают, потому что у остроугольного треугольника это действительно так, но у других видов положение меняется. Для прямоугольного треугольника центр лежит на гипотенузе, а для тупоугольного — вне фигуры. Проверь вид треугольника по его углам, прежде чем отмечать центр.

Описанную окружность иногда путают с вписанной в треугольник. В первом случае на окружности лежат вершины, а во втором окружность касается сторон изнутри; это разные условия. Путаница возникает из-за похожих названий. Проверь, что именно должно лежать на окружности: вершины или стороны треугольника.

В прямоугольном треугольнике за диаметр иногда принимают катет. Но центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому через центр проходит именно гипотенуза. Ошибка появляется, если вспомнить правило о диаметре, не проверив, какой отрезок проходит через центр. Убедись, что выбранная сторона соединяет вершины и проходит через середину окружности.

В формуле a = 2R sin A нельзя подставлять произвольный угол треугольника. Буквы a и A обозначают противолежащие друг другу сторону и угол, а не любые элементы. Ошибку допускают, когда ориентируются только на данные задачи и не смотрят на их расположение. Перед вычислением отметь, какой угол лежит напротив выбранной стороны.

Связь с другими темами

Для этой темы полезно знать свойства хорды и серединного перпендикуляра: на них основано нахождение центра окружности. Также нужны признаки и свойства прямоугольного треугольника, особенно представление о гипотенузе и её середине. Связь стороны с противолежащим углом через радиус используется при решении задач на окружность и при применении теоремы синусов. Она помогает находить недостающие элементы треугольника по известным данным.

Что запомнить

• Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника.
• Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• В остроугольном треугольнике центр лежит внутри, в тупоугольном — вне треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр — середина гипотенузы.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.
• Для стороны a и противолежащего угла A верно a = 2R sin A.