"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Окружность задаётся центром и радиусом, но для её построения центр не всегда известен. Через одну точку и через две различные точки можно провести бесконечно много окружностей. Иначе обстоит дело с тремя точками: если они не лежат на одной прямой, через них проходит ровно одна окружность. Её центр находят как пересечение серединных перпендикуляров сторон треугольника, образованного этими точками. Если же три точки лежат на одной прямой, окружность через них провести нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром окружности, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом. Определение помогает понять, какие точки принадлежат окружности: достаточно проверить, равны ли их расстояния до центра.
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Любая точка этой прямой равноудалена от концов отрезка. Это свойство нужно, чтобы находить возможные центры окружностей, проходящих через обе точки — концы отрезка.
Неколлинеарные точки — точки, не лежащие на одной прямой. Три такие точки образуют вершины треугольника. Это важно, потому что именно для трёх неколлинеарных точек можно однозначно найти окружность, проходящую через все три.
Описанная около треугольника окружность — окружность, проходящая через все три его вершины. Её центр находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины. Понятие связывает задачу о трёх точках с построением окружности вокруг треугольника.
Через одну заданную точку можно провести бесконечно много окружностей. Для этого достаточно выбрать любой центр, отличный от самой точки, и провести окружность радиуса, равного расстоянию от выбранного центра до точки. Меняя положение центра, мы получаем новые окружности, и все они проходят через исходную точку.
Пусть заданы две различные точки A и B. Чтобы окружность проходила через них, её центр O должен быть одинаково удалён от A и B, ведь OA и OB — радиусы одной окружности. Множество точек, равноудалённых от концов AB, — серединный перпендикуляр к этому отрезку. На нём бесконечно много возможных центров, поэтому через две точки можно провести бесконечно много окружностей.
Теперь рассмотрим три неколлинеарные точки A, B и C. Они образуют треугольник, а центр окружности через эти точки должен быть равноудалён от A и B, а также от B и C. Значит, он лежит на серединном перпендикуляре к AB и на серединном перпендикуляре к BC. Так условие о равных расстояниях превращается в задачу о пересечении двух прямых.
Серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим её O: по свойству серединного перпендикуляра OA = OB и OB = OC, следовательно, OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром O и радиусом OA проходит через A, B и C. Другого такого центра быть не может, ведь две прямые имеют только одну точку пересечения; значит, окружность единственная.
Если три различные точки лежат на одной прямой, окружность через них построить нельзя. Иначе эта прямая пересекала бы окружность как минимум в трёх точках. Но прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек, поэтому такое предположение приводит к противоречию.
В таблице учитывается не только число точек, но и их расположение. Для трёх точек сначала выясните, лежат ли они на одной прямой. Если нет, используйте серединные перпендикуляры; если да, окружности не существует.
| Заданные точки | Их расположение | Число окружностей | Обоснование |
|---|---|---|---|
| Одна точка | Любое | Бесконечно много | Центр можно выбирать произвольно, а радиус равен расстоянию до точки. |
| Две различные точки | Определяют отрезок | Бесконечно много | Центр может быть любой точкой серединного перпендикуляра к отрезку. |
| Три различные точки | Не лежат на одной прямой | Ровно одна | Пересечение серединных перпендикуляров сторон треугольника задаёт единственный центр. |
| Три различные точки | Лежат на одной прямой | Ни одной | Прямая не может пересекать окружность более чем в двух точках. |
Задача 1. Сколько окружностей можно провести через точку A? Объясните ответ. Нужно понять, ограничивает ли одна заданная точка положение центра. Она этого не делает: центр можно выбирать по-разному.
Задача 2. Постройте окружность, проходящую через две заданные точки A и B, и укажите, где может находиться её центр. Чтобы окружность проходила через обе точки, расстояния от центра до A и B должны быть равны.
Задача 3. Для трёх заданных точек A, B и C выясните, существует ли проходящая через них окружность, и, если существует, постройте её. Сначала нужно проверить взаимное расположение точек: от него зависит ответ.
Ошибка: считать, что через две точки проходит только одна окружность. Так думают, потому что точек уже две и они будто бы полностью задают фигуру. Но центр не задан: он может перемещаться по серединному перпендикуляру к отрезку между точками. Проверьте себя: если указать разные центры на этой прямой и провести окружности через одну точку, все они пройдут и через вторую.
Ошибка: строить окружность через три точки, не проверив, что они неколлинеарны. При построении серединных перпендикуляров легко пропустить исходное расположение точек. Если три различные точки лежат на одной прямой, окружность через них невозможна. Перед построением соедините точки или проверьте, принадлежат ли они одной прямой.
Ошибка: путать серединный перпендикуляр с медианой или высотой. Эти линии могут проходить через середину стороны или быть перпендикулярными ей, но не обязательно обладают обоими свойствами одновременно. Для центра окружности нужна прямая, каждая точка которой равноудалена от концов отрезка. Проверьте построение: линия должна быть перпендикулярна отрезку и проходить через его середину.
Ошибка: утверждать, что два серединных перпендикуляра треугольника параллельны или не пересекаются. Иногда за серединные перпендикуляры принимают произвольные прямые, перпендикулярные сторонам. У треугольника два таких перпендикуляра пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Проверка проста: постройте их к двум сторонам и убедитесь, что точка пересечения равноудалена от всех трёх вершин.
Для этой темы нужны определение окружности, умение находить расстояние между точками и знание свойств перпендикуляра. Также важно уметь построить серединный перпендикуляр к отрезку: он задаёт возможное положение центра. Полученные знания применяются при построении описанной окружности треугольника. Они помогают находить её центр и радиус в геометрических задачах.
Почему через две точки можно провести бесконечно много окружностей?
Центр окружности должен быть равноудалён от обеих точек, поэтому он может находиться в любой точке серединного перпендикуляра к отрезку между ними. Таких точек бесконечно много, и каждой соответствует окружность с радиусом до заданной точки.
Где находится центр окружности, проходящей через две заданные точки?
Он находится на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки. Любая точка этой прямой одинаково удалена от концов отрезка.
Почему для трёх неколлинеарных точек окружность только одна?
Центр такой окружности должен лежать на серединных перпендикулярах сторон треугольника, вершины которого — заданные точки. Два таких перпендикуляра пересекаются в одной точке, поэтому центр и радиус определяются однозначно.
Как построить окружность через три неколлинеарные точки?
Соедините точки, чтобы получить треугольник, и постройте серединные перпендикуляры к двум его сторонам. Их пересечение будет центром окружности; проведите окружность с радиусом от этой точки до любой из трёх вершин.
Можно ли провести окружность через три точки, лежащие на одной прямой?
Нет, если точки различны. Прямая может пересечь окружность не более чем в двух точках, поэтому три точки одной прямой не могут одновременно принадлежать окружности.
§ 29. Число точек, определяющих окружность
