"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Внешний угол выпуклого многоугольника связан с его внутренним: при одной вершине эти углы смежные и вместе составляют 180°. Если при обходе многоугольника выбрать по одному внешнему углу в каждом повороте и двигаться в одном направлении, их сумма всегда будет 360°. Число сторон на эту сумму не влияет. Это свойство помогает находить неизвестные углы и решать задачи о поворотах при обходе замкнутого контура.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внешний угол выпуклого многоугольника — угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением соседней стороны. Внешний угол находится снаружи многоугольника и смежен с его внутренним углом при той же вершине. Из двух углов, образованных стороной и продолжением соседней стороны, выбирают тот, который соответствует выбранному направлению обхода; это нужно, чтобы одинаково учитывать повороты во всех вершинах.
Величина внешнего угла — его градусная мера. Внутренний и внешний углы при одной вершине смежные, то есть их нес общая сторона, а две другие образуют прямую линию. Поэтому их величины дополняют друг друга до 180°: если внутренний угол равен α, то внешний равен 180° − α.
Сумма величин внешних углов выпуклого многоугольника — сумма по одному выбранному внешнему углу при каждой вершине. Углы выбирают последовательно при обходе многоугольника в одном направлении, например по часовой стрелке. Такое определение нужно, чтобы сумма описывала повороты за один полный обход, а не случайный набор углов.
Чтобы выбрать внешние углы, мысленно обходи многоугольник по его сторонам, например по часовой стрелке. В каждой вершине продолжай сторону, на которую переходишь, и отмечай угол поворота между направлением предыдущей стороны и направлением следующей. Так при каждой вершине получается по одному углу снаружи многоугольника. Единое направление необходимо: при обходе в обратную сторону все повороты тоже будут направлены в обратную сторону, но останутся частью одного полного оборота.
Внутренний угол и выбранный внешний угол при вершине имеют общую сторону. Две остальные стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, поэтому углы образуют развернутый угол. Его величина равна 180°, значит, если внутренний угол обозначить α, а внешний — β, то α + β = 180°. Например, при внутреннем угле 120° внешний составляет 60°.
При движении по многоугольнику меняется направление, в котором ты идёшь. Если перед вершиной двигаться вдоль одной стороны, а после неё — вдоль следующей, угол между прежним направлением и новым как раз равен выбранному внешнему углу. Поэтому внешний угол можно понимать не только как часть фигуры, но и как величину поворота при переходе от одной стороны к другой. Выпуклость важна: при последовательном обходе повороты происходят в одну сторону.
После последней стороны обход возвращает тебя к начальной точке и к исходному направлению движения. Чтобы направление снова совпало с начальным, оно должно сделать полный оборот, то есть повернуться на 360°. Каждый отдельный поворот равен одному из выбранных внешних углов, поэтому сложение всех поворотов даёт 360°. Следовательно, сумма по одному внешнему углу при каждой вершине выпуклого многоугольника равна 360°.
Тот же результат можно получить через сумму внутренних углов. У n-угольника сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°, а при каждой вершине внешний угол дополняет внутренний до 180°. Поэтому сумма внешних равна n · 180° − (n − 2) · 180° = 360°. Доказательство через поворот нагляднее объясняет геометрический смысл, а вычисление через внутренние углы показывает ту же закономерность. В обоих случаях число сторон сокращается, поэтому ответ не зависит от него.
| Что рассматриваем | Связь или значение | Что важно помнить |
|---|---|---|
| Внешний и внутренний углы при одной вершине | Один образован стороной и продолжением соседней стороны; другой находится внутри многоугольника. | Это смежные углы, а не вертикальные. |
| Сумма величин внешнего и внутреннего углов при одной вершине | 180° | Внешний угол равен 180° минус внутренний. |
| Сумма по одному внешнему углу при каждой вершине | 360° | Углы выбирают при обходе в одном направлении. |
| Зависимость суммы внешних углов от числа сторон | Сумма не зависит от числа сторон. | От числа сторон могут зависеть отдельные углы, но не их сумма. |
При решении задачи сначала определи, какие именно углы даны: внутренние или внешние. Для перехода от одного угла к другому используй сумму 180°, а для всех выбранных внешних углов — сумму 360°. Если требуется найти число равных углов, раздели 360° на величину одного угла.
Найти величину внешнего угла выпуклого многоугольника, если соответствующий внутренний угол равен 138°. Здесь не нужно знать число сторон многоугольника: достаточно рассмотреть два угла при одной вершине. Они смежные и вместе образуют развернутый угол. Значит, неизвестную величину можно получить вычитанием.
Ответ: 42°. Проверка: 138° + 42° = 180°, значит, углы действительно смежные.
Выпуклый пятиугольник имеет четыре внешних угла величиной 65°, 72°, 81° и 90°. Нужно найти пятый внешний угол. При обходе берут по одному внешнему углу при каждой из пяти вершин, а их общая сумма составляет 360°. Поэтому сначала сложим известные углы, затем вычтем полученную сумму из полного оборота.
Ответ: 52°. Сумма пяти углов равна 308° + 52° = 360°, что согласуется с теоремой.
Выпуклый многоугольник имеет равные внешние углы, каждый из которых равен 24°. Требуется найти число сторон. У каждой вершины берётся один внешний угол, поэтому число таких углов совпадает с числом сторон. Их общая сумма равна 360°, и равенство углов позволяет умножить величину одного угла на неизвестное число.
Ответ: 15 сторон. Проверка: 15 углов по 24° дают 15 · 24° = 360°.
Ошибка: складывать внешние углы, выбранные при вершинах в разных направлениях. Так можно потерять связь углов с последовательными поворотами, потому что они уже не описывают единый обход. Обычно это происходит, когда каждый угол отмечают отдельно, не прослеживая движение по сторонам. Для проверки мысленно обойди фигуру и убедись, что поворот в каждой вершине выбран одинаково.
Ошибка: считать внешний угол вертикальным внутреннему. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и равны между собой, а здесь внутренний и внешний углы имеют общую сторону. Их другие стороны продолжают одна другую, поэтому углы смежные и в сумме дают 180°. Проверь рисунок: если углы расположены по разные стороны вершины и имеют общую сторону, используй 180° минус внутренний угол.
Ошибка: говорить, что сумма «всех внешних углов» равна 360°, не уточнив, какие углы складывают. В каждой вершине можно рассматривать внешние углы, связанные с разными продолжениями сторон, поэтому без правила выбора утверждение получается неясным. В теореме берут ровно по одному внешнему углу при каждой вершине. Перед вычислением пересчитай выбранные углы и проверь, что каждая вершина учтена один раз.
Ошибка: считать, что сумма зависит от числа сторон. У многоугольника с большим числом сторон может быть больше отдельных углов, но при полном обходе общий поворот всё равно составляет 360°. Такое заблуждение возникает из-за смешения суммы и величины одного угла. Проверка простая: если все внешние углы равны, их величина равна 360°/n, а сумма остаётся 360°.
Для этой темы понадобятся понятия выпуклого многоугольника, внутреннего угла и смежных углов. Полезно также помнить формулу суммы внутренних углов: для n-угольника она равна (n − 2) · 180°. Она позволяет доказать результат о внешних углах ещё одним способом и связывает его с ранее изученной темой. Новое свойство пригодится при нахождении неизвестных углов многоугольников, а также в задачах о поворотах и обходе замкнутого контура.
Как определить, какой угол при вершине считать внешним?
Внешний угол образован одной стороной многоугольника и продолжением соседней стороны. Он расположен снаружи многоугольника и смежен с внутренним углом при той же вершине. Для суммы выбирают по одному такому углу при каждой вершине.
Почему внутренний и внешний углы при вершине в сумме дают 180°?
Они имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга. Поэтому углы образуют развернутый угол, величина которого равна 180°. Значит, внешний угол равен 180° минус внутренний.
Почему сумма внешних углов равна 360°?
Каждый выбранный внешний угол равен повороту направления движения при переходе к следующей стороне. За полный обход выпуклого многоугольника направление делает один полный оборот, то есть поворачивается на 360°. Поэтому сумма выбранных углов равна 360°.
Нужно ли выбирать внешние углы при обходе в одном направлении?
Да, нужно придерживаться одного направления обхода и одинаково выбирать угол поворота при каждой вершине. Тогда углы составляют последовательность поворотов, которая приводит к полному обороту. Если смешивать направления, такая схема теряется.
Как найти число сторон, если известна величина каждого равного внешнего угла?
Сумму 360° нужно разделить на величину одного внешнего угла. Например, если каждый угол равен 24°, то число сторон равно 360° : 24° = 15. Это верно, если при каждой вершине выбран равный внешний угол.
§ 28. Сумма величин внешних углов выпуклого многоугольника
