"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Выпуклый многоугольник — фигура, у которой любая сторона отделяет её от всей остальной части плоскости. Чтобы найти сумму его внутренних углов, не нужно измерять каждый угол: достаточно знать число сторон. Если сторон n, то из одной вершины можно разбить многоугольник на n − 2 треугольника, поэтому сумма углов равна S = 180°(n − 2). Эту формулу используют и в обратных задачах — чтобы по сумме углов определить число сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выпуклый многоугольник — многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Иными словами, его граница не образует вмятин, а отрезок между любыми двумя точками фигуры остаётся внутри неё. Это свойство позволяет провести диагонали так, чтобы они не выходили за пределы многоугольника. Поэтому именно выпуклые фигуры удобно разбивать на треугольники.
Внутренний угол многоугольника — угол между двумя сторонами, сходящимися в одной вершине и лежащий внутри многоугольника. Стороны угла образуют лучи, а его величина показывает, насколько широко они расходятся внутри фигуры. У каждой вершины есть один такой угол. Чтобы найти сумму внутренних углов, нужно учесть угол при каждой вершине, а не только один из них.
Число сторон многоугольника обозначают буквой n; оно равно числу его вершин и внутренних углов. Например, если сторон пять, это пятиугольник, у него пять вершин и пять внутренних углов. Буква n позволяет записывать общее правило, которое подходит сразу для фигур с разным числом сторон. В конкретной задаче вместо n подставляют известное число сторон.
Сумма величин внутренних углов выпуклого многоугольника — сумма величин всех его внутренних углов. Её обозначают S и измеряют в градусах. Это не величина одного отдельного угла: сумма включает углы при всех вершинах. Такое обозначение удобно для записи формулы и решения задач, в которых нужно найти S или, наоборот, число сторон.
Выберем одну вершину выпуклого многоугольника и проведём диагонали к вершинам, не соседним с выбранной. Соседние вершины уже соединены сторонами, поэтому новые диагонали проводят только к остальным. В результате многоугольник разделяется на треугольные части, число которых зависит от числа его сторон. Для n-угольника таких частей получается n − 2.
Почему разбиение действительно покрывает всю фигуру? Выпуклость означает, что отрезок, соединяющий точки внутри фигуры, остаётся в ней; в частности, проведённые диагонали не уходят за границу многоугольника. Диагонали выходят из одной вершины и расходятся внутри фигуры, разделяя её на соседние области. Эти области не накладываются друг на друга и вместе заполняют весь многоугольник. Значит, при подсчёте углов не теряется ни одна его часть.
Каждая получившаяся часть — треугольник, а сумма его внутренних углов равна 180°. Углы всех треугольников вместе составляют углы исходного многоугольника: углы у выбранной вершины делятся диагоналями на несколько частей, а у остальных вершин входят в соответствующие треугольники. Поэтому можно сложить суммы углов треугольников. Если треугольников n − 2, то сумма внутренних углов многоугольника равна S = 180°(n − 2).
Формула применима к любому выпуклому многоугольнику, так как способ разбиения работает при любом числе его сторон, начиная с трёх. Чтобы найти сумму углов, достаточно подставить значение n и выполнить вычисление. Например, у четырёхугольника получится 180° · (4 − 2) = 360°. Важно, что ответ относится ко всем внутренним углам вместе.
Формулу можно использовать и в обратном направлении, когда дана сумма углов, а число сторон неизвестно. Для этого в равенстве S = 180°(n − 2) подставляют известную сумму и решают уравнение. Ответ должен быть целым числом и не меньше трёх, ведь многоугольник не может иметь меньше трёх сторон. Если условие не выполняется, значит, вычисления или исходные данные нужно проверить.
| Число сторон n | Число треугольников при разбиении | Сумма внутренних углов S |
|---|---|---|
| 3 | 1 | 180° |
| 4 | 2 | 360° |
| 5 | 3 | 540° |
| n | n − 2 | 180°(n − 2) |
Чтобы пользоваться таблицей, найдите строку с нужным числом сторон и прочитайте соответствующую сумму. Если число сторон не указано в первых строках, используйте общую строку и подставьте n в формулу. Средний столбец помогает проверить ход рассуждения: число треугольников на два меньше числа сторон.
Задача 1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого четырёхугольника. Сначала выясним, сколько частей получится при разбиении из одной вершины: для четырёхугольника это два треугольника. Можно сразу применить общую формулу или сложить суммы углов этих частей. Оба способа должны привести к одному результату.
Задача 2. Найдите сумму внутренних углов выпуклого семиугольника. Здесь удобно сначала определить, на сколько треугольников его можно разбить из одной вершины. Число сторон равно семи, поэтому частей будет на две меньше. Затем сумму углов частей складываем, учитывая, что каждый треугольник даёт 180°.
Задача 3. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1260°. Сколько у него сторон? Неизвестно n, поэтому формула превращается в уравнение. После деления на 180° можно найти число треугольников, а затем восстановить число сторон. В конце обязательно проверим, подходит ли полученное значение для многоугольника.
Иногда вместо n − 2 пишут n − 3, потому что из выбранной вершины действительно можно провести n − 3 диагонали. Ошибка возникает, когда число диагоналей принимают за число частей разбиения. Чтобы проверить себя, посчитайте треугольники на простом примере: у пятиугольника две диагонали из одной вершины, но три треугольника. Значит, в формуле суммы должно стоять 3, то есть 5 − 2.
Другая ошибка — найти число треугольников, но забыть умножить его на 180°. Число n − 2 показывает только количество частей, а не величину суммы углов. Это часто происходит, если на одном шаге смешать подсчёт частей и измерение углов. Проверка проста: умножьте число треугольников на сумму углов одного треугольника.
Нельзя записывать сумму как 180°(n − 3), даже если кажется, что формула должна учитывать диагонали. Такое рассуждение смешивает две разные величины: диагоналей из вершины n − 3, а треугольников n − 2. Проверить формулу можно на четырёхугольнике: из вершины проводится одна диагональ, но она создаёт два треугольника. Поэтому сумма равна 2 · 180° = 360°.
Формулу иногда ошибочно применяют к каждому углу отдельно. Но S = 180°(n − 2) задаёт сумму всех внутренних углов, а не величину угла при одной вершине. Ошибка появляется, когда знак S воспринимают как обозначение любого угла. Чтобы найти отдельный угол, нужны дополнительные сведения; лишь для правильного многоугольника можно разделить общую сумму на число углов.
Для понимания формулы нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°. Также важно уметь считать треугольники, на которые фигура делится диагоналями. Именно эти знания связывают знакомую геометрию треугольника с многоугольниками, у которых сторон больше трёх.
Тема опирается на понятие выпуклого многоугольника и свойства диагоналей, проведённых из одной вершины. Выпуклость объясняет, почему такие диагонали остаются внутри фигуры и дают удобное разбиение. Если понять эту связь, формула перестаёт быть отдельным правилом и становится результатом подсчёта углов треугольников.
Формула помогает решать задачи, где требуется найти число сторон по сумме углов, и используется при изучении многоугольников, в том числе правильных. Для правильного многоугольника знание общей суммы вместе с равенством углов позволяет найти величину каждого угла. Но сначала важно различать общую сумму и отдельный угол.
Почему при разбиении получается именно n − 2 треугольника?
Выберем одну вершину и проведём из неё диагонали к несоседним вершинам. Они разделят многоугольник на треугольники, а число таких частей всегда на два меньше числа сторон: n − 2. Например, у пятиугольника получится 3 треугольника.
Почему сумму углов выпуклого многоугольника можно найти через треугольники?
Диагонали из одной вершины разбивают выпуклый многоугольник на треугольники без перекрытий и промежутков. Углы этих треугольников вместе составляют все внутренние углы многоугольника. Так как каждый треугольник даёт сумму 180°, суммы частей можно сложить.
Можно ли применять формулу к невыпуклому многоугольнику?
Формула S = 180°(n − 2) верна и для простого невыпуклого многоугольника, но описанное разбиение из одной вершины подходит не всегда: диагонали могут выйти за его пределы. В рамках этого правила и объяснения формулы рассматриваются выпуклые многоугольники; для невыпуклого случая нужно отдельно обосновать разбиение.
Как по сумме внутренних углов найти число сторон?
Подставьте известную сумму S в равенство S = 180°(n − 2) и решите его относительно n. Полученное число должно быть целым и не меньше 3. Например, при S = 1260° выходит n − 2 = 7, значит, сторон 9.
Равны ли все углы многоугольника, если известна их сумма?
Нет, сумма сама по себе не сообщает величину каждого угла. У одного и того же числа сторон могут быть многоугольники с разными углами, но одинаковой суммой. Равенство всех углов можно утверждать только при наличии дополнительного условия, например если многоугольник правильный.
§ 27. Сумма величин углов выпуклого многоугольника
