4.1. Эллипс

Определения и обозначения

Эллипс — множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек одна и та же. Если точки обозначить F₁ и F₂, то для любой точки M эллипса выполняется MF₁ + MF₂ = const. Это условие задаёт всю кривую, а не только отдельную её точку: чтобы проверить принадлежность, достаточно проверить сумму расстояний.

Фокусы эллипса — те самые фиксированные точки F₁ и F₂, до которых измеряются расстояния. Индексы 1 и 2 нужны, чтобы различать точки, а не обозначают разные типы фокусов. Они помогают описывать эллипс и связывают его форму с расстояниями внутри кривой.

Большая и малая оси — отрезки, проходящие через центр эллипса и соединяющие пары противоположных вершин. Их длины равны 2a и 2b соответственно, где a > b > 0; половины этих отрезков называют полуосями. Такая запись сразу показывает, в каком направлении эллипс длиннее и каковы размеры его главных отрезков.

Эксцентриситет эллипса — отношение расстояния c от центра до фокуса к большой полуоси a: e = c/a. Для эллипса 0 < e < 1, поэтому фокусы лежат внутри большой оси, но не совпадают с центром. Эксцентриситет нужен, чтобы сравнивать вытянутость эллипсов с разными размерами.

Как это устроено

Представим, что концы нити закреплены в двух точках, а карандаш натягивает её и движется по листу. Длина нити не меняется, поэтому сумма расстояний от карандаша до закреплённых точек остаётся постоянной. При непрерывном движении карандаш очерчивает замкнутую овальную кривую — эллипс; закреплённые точки и называют фокусами, потому что именно от них отсчитываются расстояния в определяющем свойстве.

Чтобы получить удобное уравнение, поместим центр эллипса в начало координат, а фокусы — на ось Ox, симметрично относительно начала. Обозначим большую полуось через a, а малую через b, причём a > b. Такая система координат упрощает вычисления: симметрия относительно обеих осей означает, что знаки координат меняются, но форма эллипса остаётся прежней.

Для точки M(x, y) расстояния до фокусов (−c, 0) и (c, 0) находятся по формуле расстояния между двумя точками. В условие эллипса подставляют эти выражения и используют постоянную сумму 2a; после преобразований получается каноническое уравнение x²/a² + y²/b² = 1. Знаменатель a² стоит под x², потому что ось Ox выбрана вдоль большой оси: при y = 0 уравнение даёт x = ±a, то есть крайние точки эллипса в этом направлении. При x = 0 получаются y = ±b, поэтому вертикальная полуось короче.

На оси Ox вершины большой оси имеют координаты (−a, 0) и (a, 0), а центр находится посередине, в точке (0, 0). Расстояние от центра до каждого фокуса обозначено c, значит фокусы имеют координаты (−c, 0) и (c, 0). Связь c² = a² − b² возникает из геометрического соотношения между полуосями и фокусным расстоянием; она показывает, что для эллипса c < a. Поэтому фокусы находятся внутри отрезка большой оси.

Если уравнение уже записано в каноническом виде, знаменатели помогают определить полуоси, а их расположение — направление большой оси. После этого вершины читаются как крайние точки на осях, а для фокусов вычисляется c = √(a² − b²). Эксцентриситет e = c/a позволяет оценить форму: при малом c фокусы близки к центру и эллипс похож на окружность, а при большем c он более вытянут. График ниже показывает пример с большой осью вдоль Ox.

Основные характеристики эллипса с фокусами на оси Ox

Сначала найдите больший знаменатель: он равен квадрату большой полуоси, а направление соответствующей координаты указывает большую ось. Затем извлеките корни из знаменателей, чтобы получить a и b, и вычислите c по формуле из таблицы. Если больший знаменатель стоит под y², оси и координаты фокусов следует поменять местами.

Разбор задач

Задача 1

Для эллипса x²/25 + y²/9 = 1 нужно найти центр, полуоси, вершины и фокусы. Уравнение уже имеет канонический вид, поэтому сначала сопоставим знаменатели с квадратами полуосей. Больший знаменатель под x² означает, что большая ось направлена вдоль Ox.

1. Центр находится в начале координат: (0, 0).
2. Из 25 = a² и 9 = b² получаем a = 5 и b = 3.
3. Вершины на большой оси: (−5, 0) и (5, 0); на малой: (0, −3) и (0, 3).
4. Находим c² = 25 − 9 = 16, поэтому c = 4. Фокусы имеют координаты (−4, 0) и (4, 0).

Ответ: центр (0, 0), полуоси 5 и 3, вершины (±5, 0), (0, ±3), фокусы (−4, 0) и (4, 0). Проверка c < a выполняется: 4 < 5, значит фокусы действительно расположены внутри большой оси.

Задача 2

Нужно записать уравнение эллипса с центром в начале координат, полуосями 6 и 4 и фокусами на оси Ox. Большая полуось равна 6, поэтому она направлена вдоль Ox, а меньшая равна 4. В каноническом уравнении знаменатели — квадраты полуосей, так что больший знаменатель должен стоять под x².

1. Полагаем a = 6, b = 4.
2. Возводим полуоси в квадрат: a² = 36, b² = 16.
3. Подставляем значения в каноническое уравнение x²/a² + y²/b² = 1.

Получаем x²/36 + y²/16 = 1. Условие о фокусах на оси Ox согласуется с выбранным расположением большой оси; при необходимости сами фокусы находятся по c² = 36 − 16 = 20. Ответ: x²/36 + y²/16 = 1.

Задача 3

Точка M принадлежит эллипсу с фокусами F₁ и F₂, причём MF₁ = 3, MF₂ = 7. Требуется найти длину большой оси и проверить, может ли большая полуось быть равна 4. По определению эллипса сумма расстояний до фокусов постоянна и равна 2a, то есть длине большой оси.

1. Складываем расстояния: MF₁ + MF₂ = 3 + 7 = 10.
2. Следовательно, 2a = 10, а длина большой оси равна 10.
3. Тогда a = 5. Если бы большая полуось равнялась 4, сумма расстояний должна была бы быть 2a = 8, а не 10.

Ответ: большая ось имеет длину 10; эллипс с большой полуосью 4 не подходит к данным условиям. Значение суммы проверяется непосредственно по расстояниям от M до обоих фокусов.

Типичные ошибки

Часто путают a и b и ставят больший знаменатель под y², хотя большая ось направлена вдоль Ox. Так происходит, когда ориентируются на положение координаты, а не на вытянутость эллипса. Проверьте себя подстановкой y = 0 и x = 0: координатный диапазон по большой полуоси должен быть длиннее.

Ещё одна ошибка — использовать c² = a² + b² вместо c² = a² − b². Обычно это происходит из-за смешения формул для разных геометрических объектов. Самопроверка проста: у эллипса c < a, а значит c² < a²; формула со сложением этому не соответствует.

Не следует записывать фокусы как (±a, 0): число a задаёт вершины большой оси, а фокусное расстояние обозначают c. Путаница возникает потому, что и фокусы, и вершины лежат на одной оси. Проверьте найденные координаты по формуле c = √(a² − b²): фокусы должны быть ближе к центру, чем вершины.

Иногда постоянную сумму расстояний считают произвольной и забывают, что в стандартных обозначениях она равна 2a. В определении действительно говорится о постоянной сумме, но длина большой оси задаёт её конкретное значение. Чтобы проверить решение, возьмите точку в конце большой оси: расстояния до двух фокусов в сумме дают именно 2a.

Связь с другими темами

Для работы с эллипсом нужны умение находить расстояние между точками на координатной плоскости, определять середину отрезка и понимать уравнение окружности. Эти навыки помогают перейти от геометрического определения к уравнению и читать координаты характерных точек. В дальнейшем уравнение эллипса пригодится при изучении конических сечений, преобразований графиков и решении задач координатным методом.

Что запомнить

• Эллипс задаётся постоянством суммы расстояний до двух фокусов.
• Каноническое уравнение: x²/a² + y²/b² = 1, где a > b > 0.
• Большая ось имеет длину 2a, малая — 2b.
• При фокусах на оси Ox их координаты равны (−c, 0) и (c, 0).
• Параметры связаны равенством c² = a² − b².
• Эксцентриситет равен e = c/a и меньше 1.