"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Эллипс, гипербола и парабола — кривые, которые можно задать не только уравнением, но и расстояниями между точками и специальными объектами: фокусами или директрисой. Геометрические определения помогают понять, откуда берутся канонические формулы и как по ним строить кривые. В теме важно различать параметры a, b и c, определять направление осей и ветвей, а также видеть связь между формой уравнения и расположением кривой на координатной плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Эллипс — множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек постоянна и больше расстояния между ними. Эти точки называют фокусами и обозначают F₁ и F₂; постоянная сумма равна 2a, расстояние между фокусами — 2c. При большой полуоси a и малой полуоси b выполняется c² = a² − b². Фокусы показывают, относительно каких точек задаётся эллипс.
Гипербола — множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен и меньше расстояния между фокусами. Если постоянная разность равна 2a, а расстояние между фокусами равно 2c, то c² = a² + b². Здесь a — полуось вдоль действительной оси, на которой лежат вершины и ветви, а b задаёт поперечный размер. Фокусы и эти параметры позволяют восстановить форму кривой.
Парабола — множество точек, равноудалённых от заданной точки-фокуса и заданной прямой-директрисы. Положение фокуса относительно директрисы задаёт ось и сторону, в которую раскрывается кривая; их середина на перпендикуляре к директрисе является вершиной. В уравнении y² = 2px расстояние от вершины до фокуса равно |p|/2, а знак p задаёт направление ветви. Так парабола определяется одной точкой и одной прямой.
Для эллипса фокусы расположены внутри замкнутой кривой, и каждая её точка сохраняет одну и ту же сумму расстояний до них. Если фокусы совпадают, сумма расстояний превращается в удвоенное расстояние до одной точки: получается окружность. Увеличение расстояния между фокусами при неизменной сумме вытягивает эллипс вдоль направления фокусов. Для гиперболы фиксируется не сумма, а разность расстояний, поэтому точки располагаются на двух сторонах относительно середины фокусов.
Чтобы получить простой вид уравнения, начало координат помещают в центр эллипса или гиперболы, а оси направляют вдоль их осей симметрии. Для параболы начало координат удобно поместить в вершину, а одну из осей направить вдоль оси симметрии. Тогда координаты фокусов и вершин не смещены относительно начала, а уравнения не содержат дополнительных линейных слагаемых. Если кривая расположена иначе, её уравнение обычно получают переносом или поворотом координат.
У эллипса большая полуось a, малая b и половина расстояния между фокусами c образуют прямоугольный треугольник: от центра до фокуса и до вершины малой оси можно провести катеты, а половина большой оси будет гипотенузой. Поэтому a² = b² + c², то есть c² = a² − b². У гиперболы вершина находится между центром и фокусом: из геометрического определения следует c² = a² + b². Для параболы вместо трёх таких размеров достаточно расстояния от вершины до фокуса, равного |p|/2.
В каноническом уравнении эллипса центр — начало координат, вершины задаются полуосями, а симметрия идёт относительно обеих осей. У гиперболы центр также в начале координат, но положительное слагаемое показывает действительную ось и направление ветвей; вершины отстоят от центра на a. У параболы начало — вершина, ось симметрии совпадает с той координатной осью, квадрат которой стоит слева. Эти признаки позволяют построить эскиз без таблицы значений.
При увеличении a эллипс растёт вдоль большой оси, при увеличении b — поперёк неё; c определяет удалённость фокусов и связан с обоими размерами. У гиперболы увеличение a отодвигает вершины, а b влияет на раскрытие и наклон асимптот y = ±(b/a)x. Для параболы модуль p задаёт расстояние от вершины до фокуса и ширину: чем больше |p|, тем шире ветвь. Знак p задаёт сторону раскрытия.
| Свойство | Эллипс | Гипербола | Парабола |
|---|---|---|---|
| Определение через фокусы и директрису | Сумма расстояний до двух фокусов постоянна | Модуль разности расстояний до двух фокусов постоянен | Расстояния до фокуса и директрисы равны |
| Каноническое уравнение при расположении осей вдоль координатных осей | x²/a² + y²/b² = 1 или x²/b² + y²/a² = 1 | x²/a² − y²/b² = 1 или y²/a² − x²/b² = 1 | y² = 2px или x² = 2py |
| Центр или вершина | Центр — начало координат | Центр — начало координат | Вершина — начало координат |
| Оси симметрии | Ox и Oy | Ox и Oy | Ось, вдоль которой направлена ветвь |
| Связь параметров и геометрический смысл параметров | c² = a² − b²; a и b — полуоси, c — расстояние от центра до фокуса | c² = a² + b²; a — полуось действительной оси, b — поперечный размер, c — расстояние до фокуса | Расстояние от вершины до фокуса равно |p|/2 |
| Расположение фокусов | На большой оси внутри эллипса | На действительной оси, за вершинами | На оси симметрии, по направлению ветви от вершины |
| Наличие асимптот | Нет | Есть: прямые, к которым ветви приближаются | Нет |
Сначала определите знак между дробями и расположение квадратов: так проще отличить эллипс от гиперболы и найти их оси. Затем используйте параметры, чтобы указать вершины и фокусы; для параболы отдельно установите направление ветви по знаку p. Таблица описывает кривые с центром или вершиной в начале координат.
Сумма расстояний до фокусов равна 10, а расстояние между фокусами равно 6; большая ось лежит на Ox. Нужно найти параметры и записать уравнение. Обозначения в определении сразу дают 2a = 10 и 2c = 6. Поскольку большая ось горизонтальна, знаменатель под x² будет равен a².
Проверка: сумма расстояний равна 2a = 10, а между фокусами — 2c = 6. Условие 5 > 3 выполнено, поэтому эллипс существует. Ответ: a = 5, c = 3, b = 4; x²/25 + y²/16 = 1.
Дано уравнение x²/9 − y²/4 = 1. Минус между дробями означает гиперболу, а положительное слагаемое с x² показывает, что действительная ось совпадает с Ox. Сопоставление с канонической формой даёт a² = 9 и b² = 4. По этим данным можно найти вершины, фокусы и асимптоты.
Проверка: фокусы расположены дальше вершин, поскольку √13 больше 3, а ветви направлены вдоль Ox. Ответ: гипербола с центром (0; 0), вершинами (±3; 0), фокусами (±√13; 0) и асимптотами y = ±(2/3)x.
Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии — Ox, фокус F(2; 0). Значит, ветвь направлена вправо и уравнение имеет вид y² = 2px. В этой записи фокус расположен в точке (p/2; 0), поэтому координаты заданного фокуса определяют параметр. После этого можно записать директрису.
Проверка: фокус F(2; 0) и директриса x = −2 симметричны относительно вершины (0; 0), а ось параболы — Ox. Ответ: y² = 8x; директриса x = −2.
Путают знаки в уравнениях эллипса и гиперболы или считают, что направление ветвей гиперболы всегда горизонтальное. Это возникает, когда запоминают вид формулы, не сопоставляя его с геометрией. Проверяйте знак между дробями: сумма квадратов даёт эллипс, разность — гиперболу; положительное слагаемое показывает направление её ветвей.
Для гиперболы иногда используют формулу c² = a² − b², верную для эллипса. Причина — похожие обозначения, хотя расположение вершин и фокусов у кривых различно. Подставьте значения в исходное уравнение и проверьте геометрический смысл: для гиперболы фокус дальше вершины, поэтому c > a и c² = a² + b².
Ошибочно полагать, что a всегда относится к горизонтальной полуоси. У эллипса a обычно обозначает большую полуось, а у гиперболы действительная ось определяется не буквой, а положительным слагаемым в уравнении. Перед построением отметьте, какая переменная стоит в этом слагаемом, и только потом размещайте вершины.
В параболе знак уравнения определяет направление ветви: например, y² = 2px при p > 0 открывается вправо, а при p < 0 — влево. Ещё одна ошибка — принимать p за расстояние от вершины до фокуса. В уравнении y² = 2px это расстояние равно |p|/2; проверка координатой фокуса не даёт перепутать параметры.
Для работы с кривыми нужны декартовы координаты, формула расстояния между точками и умение преобразовывать алгебраические выражения. Именно расстояния превращают геометрические определения в уравнения, а координаты помогают увидеть центр, вершины и фокусы. Знакомое уравнение окружности служит примером связи между геометрической фигурой и её координатной записью.
Эти кривые показывают, как геометрическое место точек описывается алгебраически, и подготавливают к изучению кривых второго порядка. Эллипсы, параболы и гиперболы встречаются в задачах геометрии и физики: их свойства помогают описывать движения, траектории и распространение сигналов. Поэтому важно уметь переходить от уравнения к форме кривой и обратно.
Чем эллипс отличается от окружности?
Эллипс задаётся постоянной суммой расстояний до двух фокусов, а его полуоси могут иметь разную длину. Окружность — частный случай эллипса с равными полуосями; её фокусы совпадают в центре.
Почему у гиперболы две ветви?
При фиксированной ненулевой разности расстояний до двух фокусов точки могут находиться по разные стороны от центра. Эти два набора точек образуют отдельные ветви, которые не соединяются.
Как по уравнению понять, куда направлены ветви гиперболы?
Посмотрите, какой квадрат стоит в положительном слагаемом. Если это x²/a², ветви направлены вдоль оси Ox; если y²/a² — вдоль Oy.
Что означают фокусы эллипса и гиперболы?
Фокусы — две заданные точки, расстояния до которых определяют кривую. Для эллипса сумма расстояний до фокусов постоянна, а для гиперболы постоянен модуль их разности.
Как связаны параметр параболы и расстояние до её фокуса?
В уравнении y² = 2px фокус находится на расстоянии p/2 от вершины, а директриса — на таком же расстоянии в противоположную сторону. Поэтому параметр p в этой записи вдвое больше расстояния до фокуса.
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола
