Теорема Чевы

Определения и обозначения

Чевиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Например, AD соединяет вершину A с точкой D на стороне BC. Это понятие нужно, чтобы рассматривать не любые линии внутри треугольника, а именно три отрезка, выходящие из его вершин.

Отношение отрезков — частное их длин, например BD/DC. Оно показывает, во сколько раз одна часть стороны больше или меньше другой. Такие отношения удобны, потому что теорема Чевы использует не отдельные длины сторон, а то, как каждая сторона разделена точкой.

Конкурентные чевианы — три чевианы треугольника, проходящие через одну общую точку. Если AD, BE и CF пересекаются в точке P, то говорят, что они конкурентны. Это свойство требуется проверить с помощью отношений частей сторон.

Теорема Чевы — условие, необходимое и достаточное для пересечения трёх чевиан в одной точке. Для треугольника ABC оно записывается так: (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB) = 1. Поэтому формула позволяет не только доказать конкурентность, но и найти неизвестную величину.

Как это устроено

Обычно рассматривают треугольник ABC. На его сторонах отмечают точки D на BC, E на CA и F на AB, а затем проводят чевианы AD, BE и CF. Такое обозначение удобно: каждая вершина соединяется с точкой на противоположной стороне, поэтому у всех трёх отрезков одинаковая роль. По этим буквам легко восстановить нужные части сторон.

Проверять пересечение чевиан напрямую по чертежу неудобно: небольшая неточность рисунка может создать ложное впечатление, будто линии сходятся. Зато положение точки на стороне можно описать отношением двух частей, например BD/DC. Поэтому для трёх сторон получают три числовых показателя и сравнивают их произведение.

Отношения записывают по кругу: сначала части стороны BC — BD/DC, затем стороны CA — CE/EA, затем стороны AB — AF/FB. В результате получается произведение (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB). Такой порядок нужен, чтобы соответствующие части всех сторон брались согласованно, а не случайно.

Теорема Чевы утверждает, что равенство этого произведения единице равносильно прохождению трёх чевиан через одну точку. Если произведение равно 1, чевианы конкурентны; если не равно 1, общей точки у них нет. Теорема работает и в обратную сторону: при известной конкурентности произведение сразу равно 1.

Элементы и применение теоремы Чевы

Сначала определите, какая точка лежит на каждой стороне, и выпишите три соответствующих отношения. Затем проверьте произведение или выразите из него неизвестную величину. Таблица помогает не перепутать вершины, точки деления и сами чевианы.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC даны BD/DC = 2, CE/EA = 3 и AF/FB = 1/6. Нужно проверить, пересекаются ли AD, BE и CF в одной точке. Известны все три отношения, поэтому достаточно применить условие Чевы.

1. Составим произведение: (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB).
2. Подставим данные: 2 · 3 · 1/6 = 1.
3. Так как произведение равно единице, по теореме Чевы все три чевианы проходят через одну точку.

Ответ: да, чевианы AD, BE и CF конкурентны.

Задача 2

Чевианы AD, BE и CF пересекаются в одной точке; BD/DC = 2, CE/EA = 3, AF = 4. Требуется найти FB. Здесь неизвестна не вся третья сторона, а один отрезок, поэтому сначала найдём отношение AF/FB.

1. Запишем условие Чевы: 2 · 3 · (4/FB) = 1.
2. Получим 24/FB = 1, откуда FB = 24.
3. Проверка: (2) · (3) · (4/24) = 1, значит найденное значение согласуется с условием.

Ответ: FB = 24.

Задача 3

Дано BD:DC = 3:2 и CE:EA = 4:3. Чевианы AD и BE пересекаются в точке P; нужно найти AF:FB, чтобы CF прошла через P. Третья чевиана должна проходить через ту же точку, значит применяем обратную теорему Чевы.

1. Запишем требуемое равенство: 3/2 · 4/3 · AF/FB = 1.
2. Первые два множителя равны 2, поэтому 2 · AF/FB = 1.
3. Делим обе части на 2 и получаем AF/FB = 1/2, то есть AF:FB = 1:2.

Ответ: AF:FB = 1:2.

Типичные ошибки

Части стороны иногда переставляют только в одном отношении: например, пишут BD/DC, CE/AC и AF/FB. Такая запись нарушает согласованный порядок, потому что CE и AC относятся к разным схемам деления. Проверьте себя: в каждом отношении должны стоять две части одной стороны, а переход между сторонами должен идти по кругу.

Некоторые применяют теорему к произвольным отрезкам или к высоте, которая не заканчивается на противоположной стороне. Ошибка появляется из-за того, что любую линию внутри треугольника принимают за чевиану. Убедитесь, что каждый отрезок начинается в вершине и заканчивается на противоположной стороне.

Иногда сравнивают только два отношения и делают вывод о пересечении линий. Но положение трёх чевиан определяется всеми тремя сторонами, поэтому двух данных недостаточно. Нужно обязательно составить полное произведение и проверить его равенство единице.

При поиске неизвестного отрезка путают длину AF с отношением AF/FB. Из-за этого в формулу подставляют 4 вместо 4/FB или находят не ту величину. Перед вычислениями подпишите, что именно известно: отдельный отрезок, сумма частей или их отношение.

Связь с другими темами

До изучения теоремы Чевы нужны знания об элементах треугольника, отношениях и пропорциях. Также понадобится умение решать простые линейные уравнения, потому что неизвестный отрезок обычно находят преобразованием формулы. Эти навыки превращают геометрическое условие в понятный расчёт.

Теорема применяется в задачах на медианы и биссектрисы. Медиана является чевианой, а биссектриса делит противоположную сторону в отношении соседних сторон, поэтому для них можно составлять нужные отношения. С помощью Чевы также доказывают конкурентность различных линий треугольника.

Тема связана с теоремой Менелая, где тоже используются отношения частей сторон. Различие состоит в конфигурации: Чева описывает сходящиеся в одной точке чевианы, а Менелай — точки, лежащие на одной прямой. Сравнение двух теорем помогает выбирать правильную формулу.

Что запомнить

• Чевиана соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
• Три чевианы конкурентны тогда и только тогда, когда произведение трёх соответствующих отношений равно единице.
• Формула теоремы: (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB) = 1.
• Все три отношения нужно составлять в согласованном порядке.
• Теорема Чевы применяется и для проверки конкурентности, и для нахождения неизвестного отрезка.
• Для поиска неизвестной величины формулу теоремы Чевы преобразуют в обычное уравнение.