Равносоставлепные и равновеликие многоугольники

Определения и обозначения

Равносоставленными называют многоугольники, каждый из которых можно разбить на конечное число частей так, чтобы части одного многоугольника были соответственно равны частям другого. Равные части можно совместить наложением: их стороны и углы совпадут. Это определение нужно, когда мы хотим доказать не только равенство площадей, но и возможность составить фигуры из одинаковых кусочков.

Равновеликие многоугольники — это многоугольники, площади которых равны. Например, если площадь каждого из двух многоугольников составляет 24 см², то они равновелики, даже если выглядят по-разному. Понятие помогает сравнивать фигуры по величине занимаемой ими области, не требуя, чтобы совпадали их форма или части.

Части разбиения должны полностью составлять исходный многоугольник и не накладываться друг на друга внутренними областями. Иначе некоторые участки фигуры окажутся посчитанными дважды или не будут учтены вовсе. Это условие позволяет считать площадь фигуры суммой площадей всех её частей.

Как это устроено

Равные многоугольники имеют равные площади: при наложении они совпадают, а значит, занимают одинаковую область. Если равносоставленные фигуры разбиты на равные части, то площади каждой соответствующей пары частей равны. Складывая равные площади частей, получаем равные суммы, поэтому площади целых многоугольников тоже равны. Так из равносоставленности следует равновеликость.

При объединении частей площадь не теряется и не считается повторно, если части без промежутков заполняют фигуру и не накладываются внутренностями. Поэтому площадь целого равна сумме площадей его частей. В двух равносоставленных многоугольниках слагаемые можно сопоставить попарно: каждая пара равных частей даёт одинаковое слагаемое. Равенство этих сумм и объясняет, почему перестановка частей не меняет площадь.

Чтобы проверить равносоставленность по рисунку, сначала проследи линии разреза и убедись, что они делят каждую фигуру на части без пропусков и перекрытий. Затем найди соответствия: каждой части первого многоугольника должна отвечать равная ей часть второго. Равенство можно установить наложением, а если это невозможно на рисунке — по известным признакам равенства многоугольников. Одного похожего вида частей недостаточно: нужно обосновать, что они действительно равны.

Равновеликость и равносоставленность отвечают на разные вопросы. При проверке равновеликости сравнивают площади — например, вычисляют их по формулам или выражают площадь через сумму частей. При проверке равносоставленности показывают конкретные разбиения и равенство соответствующих частей. Поэтому равносоставленность гарантирует равновеликость, а равенство площадей само по себе не доказывает равносоставленность.

Равносоставленность и равновеликость многоугольников

Пользуйся таблицей, чтобы выбрать подходящий способ доказательства: для равносоставленности нужны разбиения, для равновеликости — сравнение площадей. Если показано, что фигуры равносоставлены, можно сразу сделать вывод об их равновеликости. Но при известном равенстве площадей нельзя без дополнительных рассуждений утверждать, что фигуры равносоставлены.

Разбор задач

Задача 1. Два прямоугольника разделены на четыре попарно равных квадрата. Докажите, что прямоугольники равносоставлены и равновелики.

1. В первом прямоугольнике выделены четыре квадрата, и во втором также выделены четыре квадрата. По условию квадраты попарно равны, поэтому каждой части первого прямоугольника можно поставить в соответствие равную часть второго.
2. Проверяем, что квадраты в каждом прямоугольнике без промежутков и наложений заполняют его целиком. Значит, указанные части действительно образуют разбиения исходных фигур.
3. Получили разбиения на четыре соответственно равные части, поэтому прямоугольники равносоставлены. Площади соответствующих квадратов равны, а суммы площадей всех частей тоже равны.

Ответ: прямоугольники равносоставлены и равновелики.

Задача 2. Треугольник и параллелограмм разбиты на части. Определите, равносоставлены ли они, если части можно попарно совместить наложением.

1. Сначала проверяем полноту разбиения: части должны закрывать треугольник и параллелограмм целиком, не накладываясь внутренними областями. Если это условие не выполнено, перед нами не разбиения данных многоугольников.
2. Затем сопоставляем части двух фигур. По условию их можно попарно совместить наложением, значит, каждая пара соответствующих частей состоит из равных многоугольников.
3. Если каждому участку одной фигуры нашёлся равный участок другой, а все части составляют исходные фигуры, определение равносоставленности выполнено. Форму целых фигур сравнивать не требуется.

Ответ: да, если разбиения полные и все части сопоставлены попарно.

Задача 3. Докажите равновеликость двух многоугольников, разрезав один из них на части и переставив их так, чтобы получить второй.

1. Обозначим части первого многоугольника после разрезания. При перестановке каждая часть сохраняет форму и размеры, следовательно, её площадь не изменяется.
2. Проверяем, что переставленные части полностью составляют второй многоугольник, не перекрываясь и не оставляя промежутков. Тогда площадь второго многоугольника равна сумме площадей тех же частей.
3. Площадь первого многоугольника также равна сумме площадей этих частей. Суммы одинаковы, следовательно, равны и площади исходных фигур.

Ответ: многоугольники равновелики.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что равные площади автоматически доказывают равносоставленность. Эти понятия связаны, но равновеликость говорит только о равенстве площадей, а не о способе разбиения. Так рассуждают, перенося следствие в обратную сторону. Проверь себя: если разбиение на равные части не предъявлено, утверждать равносоставленность рано.

Нельзя называть фигуры равносоставленными, не показав разбиение на попарно равные части. Даже если площади совпадают или фигуры похожи, этого недостаточно для определения. Ошибка часто возникает из-за подмены доказательства догадкой по виду. Составь пары частей и обоснуй равенство каждой пары.

Если между частями есть пропуски или они накладываются друг на друга, разбиение не образует исходный многоугольник корректно. В таком случае сумма площадей частей может не совпасть с площадью фигуры. Проверь границы и внутренние области: весь многоугольник должен быть покрыт ровно один раз.

Части одинаковой площади не обязательно являются равными многоугольниками. Например, у них могут различаться форма или углы, хотя площадь совпадает; такие части нельзя считать равными только по площади. Эта ошибка появляется, когда путают равенство фигур с равенством числовых значений площадей. Для проверки сравни форму и размеры частей, например наложением.

Связь с другими темами

Для работы с равносоставленными и равновеликими фигурами нужны понятие площади многоугольника и свойства площадей: площадь целого равна сумме площадей частей без наложений. Также пригодятся признаки равенства фигур, чтобы обосновать, что части можно совместить наложением. Эти знания помогают не ограничиваться измерением площади, а строить доказательство через разбиение.

Разрезание и перестановка частей используются при выводе формул площадей и сравнении сложных многоугольников. Иногда неудобную фигуру разбивают на более простые, вычисляют площади частей и складывают их. В других задачах части переставляют, чтобы получить фигуру с понятной формулой площади.

Что запомнить

• Равносоставленные многоугольники разбиваются на попарно равные части.
• Разбиение должно полностью покрывать каждый исходный многоугольник.
• Равносоставленные многоугольники равновелики.
• Равновеликие многоугольники имеют равные площади.
• Равновеликость не означает, что многоугольники равносоставлены.
• Перестановка равных частей не меняет площадь фигуры.