"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Конус состоит из круглого основания, вершины и боковой поверхности, которая соединяет вершину с окружностью основания. Если разрезать эту поверхность по образующей и расправить, получится сектор круга. Его радиус равен образующей, а дуга — длине окружности основания. Поэтому площадь боковой поверхности вычисляют по формуле Sбок = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Если известны высота и радиус прямого конуса, образующую находят по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, у которого есть круг-основание, вершина и боковая поверхность, соединяющая вершину с окружностью основания. В прямом круговом конусе, который рассматривается здесь, высота перпендикулярна плоскости основания и опускается в его центр. Это уточнение важно: оно позволяет связать высоту, радиус и образующую прямоугольным треугольником.
Образующая конуса — отрезок от вершины до любой точки окружности основания; его длину обозначают буквой l. У прямого кругового конуса все образующие равны. Длина l понадобится для нахождения площади: при развёртывании боковой поверхности она станет радиусом сектора.
Радиус круга основания обозначают буквой r. Он задаёт размер основания, а также длину окружности основания: 2πr. Эта длина совпадает с дугой развёртки, поэтому r входит в формулу площади боковой поверхности вместе с образующей.
Развёртка боковой поверхности конуса — плоская фигура, которую получают, разрезав боковую поверхность по образующей и расправив её. Для конуса эта фигура является круговым сектором. Развёртка помогает применить известные формулы площади сектора и увидеть, откуда берётся формула площади конуса.
Представьте, что боковую поверхность разрезали по одной образующей, а затем аккуратно расправили. Она не растягивается и не сжимается, поэтому её длина и площадь сохраняются. Края разреза становятся двумя радиусами плоской фигуры, а оставшийся край — дугой сектора.
Каждая образующая соединяет вершину с окружностью основания и имеет длину l. При расправлении такая линия становится отрезком от центра сектора до его дуги, то есть радиусом сектора. Дуга же образуется из всей окружности основания: её длина не меняется при разрезании и расправлении, поэтому она равна 2πr.
Чтобы узнать, какую часть полного круга занимает сектор, сравним длины их дуг. Полная окружность радиуса l имеет длину 2πl, а дуга развёртки — 2πr. Значит, сектор составляет долю 2πr / 2πl = r/l от полного круга. Та же доля применима к площади круга радиуса l, потому что площадь сектора пропорциональна его центральному углу и длине дуги.
Площадь полного круга радиуса l равна πl², поэтому площадь сектора равна (r/l) · πl². Сокращая l, получаем Sбок = πrl. Это можно представить и иначе: если разделить сектор на много узких равных секторов и попеременно уложить их, получится фигура, близкая к прямоугольнику. Её высота приблизительно равна l, а основание — половине длины дуги, то есть πr; произведение снова даёт πrl.
Если известны только высота h и радиус основания r, сначала находят образующую. Высота прямого конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник: катеты равны h и r, а гипотенуза — l. По теореме Пифагора l² = r² + h², откуда l = √(r² + h²); затем эту длину подставляют в формулу площади.
| Величина | Обозначение | Как определить или найти | Связь с площадью боковой поверхности |
|---|---|---|---|
| Радиус основания | r | Радиус круга основания | Входит в формулу Sбок = πrl |
| Высота конуса | h | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | Помогает найти l, но напрямую в формулу не подставляется |
| Образующая прямого кругового конуса | l | l = √(r² + h²) | Входит в формулу Sбок = πrl |
| Площадь боковой поверхности | Sбок | Sбок = πrl | Искомая величина |
| Длина дуги сектора развёртки | 2πr | Равна длине окружности основания | Определяет долю сектора и его площадь |
Сначала отметьте, какие величины известны: для прямой подстановки нужны r и l. Если вместо образующей дана высота, найдите l по теореме Пифагора. Длина дуги помогает проверить развёртку и вывести формулу, но для расчёта площади обычно достаточно Sбок = πrl.
Радиус основания конуса равен 3 см, образующая — 5 см. Найдите площадь его боковой поверхности. Здесь обе величины для формулы уже даны, поэтому достаточно подставить их и вычислить произведение. Поскольку результат выражает площадь, ответ записываем в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15π см² (примерно 47,1 см²).
Высота прямого кругового конуса равна 12 см, радиус основания — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности. Образующая не дана, поэтому сначала найдём её: в прямом конусе высота и радиус основания — катеты прямоугольного треугольника, а образующая — гипотенуза. После этого используем обычную формулу площади.
Ответ: 65π см² (примерно 204,2 см²).
Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса 10 см с центральным углом 120°. Найдите радиус основания и площадь боковой поверхности. Сектор показывает образующую: его радиус равен l = 10 см. Чтобы найти r, сравним дугу сектора с длиной окружности основания; угол 120° составляет треть полного угла 360°.
Ответ: радиус основания — 10/3 см, площадь боковой поверхности — 100π/3 см² (примерно 104,7 см²).
Подставлять в формулу площади высоту вместо образующей — неверно: в общем случае h и l имеют разные длины. Так ошибаются, потому что обе величины идут от вершины конуса к основанию. Проверьте себя по развёртке: её радиус — образующая, значит, в формуле должно стоять l; при данных h и r сначала вычислите l.
Площадь боковой поверхности иногда путают с полной площадью конуса. Формула Sбок = πrl учитывает только развёрнутую боковую часть и не включает круг основания. Если требуется полная площадь, добавьте πr²: Sполн = Sбок + πr². Проверка простая: у полной поверхности должно быть учтено и основание.
Радиус сектора развёртки не равен радиусу основания: он равен образующей l. Путаница возникает потому, что в задаче есть два радиуса, относящиеся к разным фигурам. Подпишите их на схеме или в записи: r — радиус основания, l — радиус сектора.
Нельзя считать дугу сектора полной окружностью радиуса l. Дуга — лишь часть такой окружности, и её длина должна совпасть с длиной окружности основания, то есть 2πr. Если получилось 2πl, проверьте: это длина целой окружности сектора, а не его дуги.
Для вывода формулы нужны длина окружности 2πr, площадь круга πr² и умение находить площадь сектора. Сравнение дуг позволяет определить долю сектора, а затем ту же долю от площади полного круга. Поэтому знание геометрии круга объясняет не только вычисление, но и происхождение формулы Sбок = πrl.
Если в задаче даны радиус основания и высота, для нахождения образующей применяют теорему Пифагора. Формула площади боковой поверхности пригодится дальше при вычислении полной поверхности конуса и в задачах о телах вращения. Важно различать, какая именно площадь требуется: боковая или полная.
Почему развёртка боковой поверхности конуса является сектором круга?
При разрезании по образующей поверхность можно расправить, не растягивая и не сжимая её. Все образующие имеют одинаковую длину и сходятся в вершине, поэтому развёрнутая поверхность образует часть круга с центром в этой вершине.
Почему радиус сектора равен образующей, а не радиусу основания?
При развёртывании каждый отрезок от вершины конуса до окружности основания становится радиусом сектора. Длина такого отрезка — образующая l. Радиус основания задаёт длину дуги сектора, а не расстояние от его центра до края.
Как вывести формулу площади боковой поверхности конуса?
Развёртка — сектор радиуса l, длина его дуги равна 2πr. Поэтому сектор составляет долю 2πr от длины полной окружности 2πl, то есть r/l. Его площадь равна этой доле от площади круга πl²: Sбок = (r/l) · πl² = πrl.
Можно ли использовать высоту конуса вместо образующей в формуле площади?
Нет, если конус наклонный или прямой, высота не является длиной образующей. В формуле площади используется l, потому что именно образующая становится радиусом сектора развёртки. Для прямого конуса образующую можно найти по формуле l = √(r² + h²).
Как найти площадь боковой поверхности, если известны только высота и радиус основания?
Для прямого кругового конуса сначала найдите образующую: l = √(r² + h²). Затем подставьте её и радиус основания в формулу Sбок = πrl. Убедитесь, что длины выражены в одинаковых единицах.
79. Площадь боковой поверхности конуса
