69. Взаимное расположение сферы и прямой

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром сферы, а расстояние — радиусом и обозначают R. Сфера является только поверхностью, а не всем объёмом шара, поэтому при решении задач важно учитывать именно точки этой поверхности.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В нашей задаче точкой служит центр сферы, а расстояние от него до прямой обозначают d. Это расстояние показывает самое близкое место прямой к центру.

Касательная к сфере — прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Понятие нужно, чтобы описывать предельный случай, когда прямая подходит к сфере, но не проходит через неё.

Секущая сферы — прямая, имеющая со сферой две общие точки. Она проходит через поверхность сферы и пересекает её по обе стороны от ближайшей к центру точки. Число общих точек помогает отличить секущую от касательной.

Как это устроено

Из центра сферы опускают перпендикуляр на прямую и обозначают его длину d. Основание перпендикуляра является ближайшей к центру точкой прямой: любой другой отрезок от центра до точки прямой длиннее. Поэтому именно d нужно сравнивать с радиусом R, а не расстояние до произвольно выбранной точки.

Если d больше R, даже ближайшая точка прямой находится дальше от центра, чем поверхность сферы. При удалении от основания перпендикуляра расстояние до центра только увеличивается. Значит, ни одна точка прямой не может быть удалена от центра ровно на R, и общих точек нет.

Если d равно R, основание перпендикуляра находится на сфере. Любая другая точка прямой расположена от центра дальше, потому что кратчайший отрезок уже найден перпендикуляром. Поэтому основание является единственной общей точкой, а прямая называется касательной.

Если d меньше R, ближайшая точка прямой лежит внутри сферы, то есть расстояние до центра меньше радиуса. При движении по прямой в одну и в другую сторону расстояние от центра постепенно растёт. Сначала оно достигает R с одной стороны, затем — с другой, поэтому возникают две точки пересечения.

Для каждой точки пересечения соедините её с центром сферы. Получится прямоугольный треугольник: радиус R — гипотенуза, перпендикуляр d — один катет, а отрезок от основания перпендикуляра до точки пересечения — второй катет. По теореме Пифагора его длина равна √(R² − d²). Оба отрезка по разные стороны от основания имеют одинаковую длину.

Взаимное расположение сферы и прямой

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите расстояние d от центра до прямой и радиус R. Затем сравните два числа и выберите соответствующую строку. Число общих точек сразу показывает, является ли прямая внешней, касательной или секущей.

Разбор задач

Задача 1

Радиус сферы равен 5 см, расстояние от её центра до прямой — 7 см. Нужно определить взаимное расположение сферы и прямой. Здесь уже известны оба числа, поэтому достаточно применить основной признак.

1. Запишем значения: R = 5 см, d = 7 см.
2. Сравним их: 7 > 5, значит, d > R.
3. По таблице при таком условии прямая не имеет общих точек со сферой.

Ответ: прямая не пересекает сферу; общих точек нет.

Задача 2

Радиус сферы равен 5 см, а расстояние от её центра до прямой — 3 см. Требуется найти число общих точек и расстояние от основания перпендикуляра до каждой из них. Поскольку расстояние меньше радиуса, сначала определим тип прямой, а затем найдём катет прямоугольного треугольника.

1. Сравним значения: d = 3 см < R = 5 см, поэтому прямая является секущей и имеет две общие точки.
2. По теореме Пифагора искомое расстояние равно √(R² − d²) = √(5² − 3²) = √16 = 4 см.
3. Обе точки пересечения расположены по разные стороны от основания перпендикуляра, на расстоянии 4 см от него.

Ответ: две общие точки; расстояние до каждой из них равно 4 см.

Задача 3

Сфера задана уравнением x² + y² + z² = 25, а прямая — уравнениями x = t, y = 3, z = 4. Нужно проверить, сколько действительных значений параметра t удовлетворяют одновременно обоим условиям. Число таких значений и даст число общих точек.

1. Подставим координаты точки прямой в уравнение сферы: t² + 3² + 4² = 25.
2. Получаем t² + 9 + 16 = 25, откуда t² = 0 и t = 0.
3. Есть одно действительное значение параметра, значит, прямая имеет одну общую точку со сферой и является касательной.

Ответ: прямая касается сферы в одной точке, соответствующей t = 0.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать радиус с расстоянием от центра до произвольной точки прямой. Такое расстояние может быть больше кратчайшего. Проверяйте себя: расстояние d должно быть длиной именно перпендикуляра от центра к прямой.

Вторая ошибка — путать случаи d = R и d < R. При равенстве прямая имеет одну общую точку, а при меньшем расстоянии — две. Полезная проверка: сопоставьте результат с числом общих точек в таблице.

Третья ошибка — считать, что при d < R вся прямая лежит внутри сферы. Сфера обозначает только поверхность, а не внутренний объём шара. Проверьте рассуждение движением по прямой: по обе стороны от внутренней точки нужно выйти на поверхность.

Четвёртая ошибка — использовать формулу √(R² + d²) для расстояния до точки пересечения. В прямоугольном треугольнике радиус является гипотенузой, поэтому второй катет находят как √(R² − d²). Если под корнем стоит сумма, неверно выделены стороны треугольника.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать определение сферы, свойство перпендикуляра к прямой и понятие расстояния от точки до прямой. Эти знания позволяют правильно найти величину d и понять геометрическую схему. Без них легко сравнить радиус не с той длиной.

Результаты используются в задачах на сечения сферы плоскостью, касательные и расстояния в пространстве. В частности, условие касания часто сводится к равенству расстояния от центра до объекта и радиуса. Формула из прямоугольного треугольника помогает вычислять размеры сечений.

Для аналитического решения полезно уметь задавать сферу уравнением и подставлять в него координаты точек прямой. Полученное уравнение относительно параметра показывает число общих точек. Ноль, один или два действительных корня соответствуют трём случаям из таблицы.

Что запомнить

• Взаимное расположение сферы и прямой определяется сравнением расстояния d от центра до прямой с радиусом R.
• При d > R общих точек нет.
• При d = R прямая касается сферы в одной точке.
• При d < R прямая пересекает сферу в двух точках.
• Расстояние от основания перпендикуляра до каждой точки пересечения равно √(R² − d²).
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.