3.6. Взаимное расположение сферы и прямой

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, удалённых от её центра на одно и то же расстояние; это расстояние называют радиусом. Если центр обозначить O, а радиус — R, то каждая точка сферы находится от O на расстоянии R. Сфера является только поверхностью, поэтому её центр в неё не входит. Понятие радиуса нужно, чтобы сравнивать размер сферы с расстоянием до прямой.

Расстояние от центра сферы до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую в основании, и именно это основание ближе остальных точек прямой к центру. Обозначим расстояние буквой d. Оно понадобится для определения взаимного расположения прямой и сферы.

Секущая прямая — прямая, имеющая со сферой две общие точки. Она проходит сквозь поверхность сферы, поэтому её пересечения расположены по разные стороны от точки прямой, ближайшей к центру. Так называют прямую, когда расстояние от центра до неё меньше радиуса. Термин помогает отличать пересечение в двух точках от касания.

Касательная прямая к сфере — прямая, имеющая со сферой одну общую точку; эту точку называют точкой касания. Прямая касается поверхности, но не проходит сквозь неё. В точке касания радиус сферы перпендикулярен касательной. Это свойство позволяет не только распознать касание, но и решать задачи с прямыми углами.

Как это устроено

Проведём из центра сферы перпендикуляр к прямой. Обозначим его основание H, так что OH ⟂ l, где l — данная прямая. Точка H является ближайшей к O точкой прямой: для любой другой точки A на прямой треугольник OHA прямоугольный, и OA — его гипотенуза, значит, OA больше OH. Поэтому длина OH и есть расстояние от центра до прямой.

На сфере лежат точки, удалённые от центра ровно на R. Для любой точки прямой её расстояние до центра не меньше d = OH, причём равенство достигается только в H. Если сравнить наименьшее расстояние d с R, станет ясно, может ли прямая достичь поверхности сферы. Более далёкие точки прямой сами по себе не меняют этот первый вывод: сначала проверяют ближайшую.

Если d > R, даже H находится дальше от центра, чем любая точка сферы. Все остальные точки прямой ещё дальше, поскольку H — ближайшая к O. Значит, ни одна точка прямой не может лежать на сфере, и общих точек нет. При таком расположении прямая проходит вне сферы.

Если d < R, точка H находится внутри сферы, то есть OH меньше радиуса. В плоскости, проходящей через центр O и прямую l, сфера даёт окружность, а прямая пересекает эту окружность по обе стороны от H. Поэтому возникают две общие точки, и прямая называется секущей. Иными словами, до поверхности от H ещё есть расстояние в обоих направлениях вдоль прямой.

Если d = R, то OH равно радиусу, поэтому H лежит на сфере. Любая другая точка прямой дальше от O, следовательно, она не может быть второй общей точкой. Так возникает единственное касание. Радиус OH перпендикулярен прямой по построению; поэтому радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Взаимное расположение сферы и прямой

Чтобы воспользоваться таблицей, обозначьте радиус через R, а расстояние от центра до прямой через d. Сравните эти числа и найдите соответствующую строку. Число общих точек и название расположения определяются сразу.

Разбор задач

Сравнение расстояния и радиуса

Условие: радиус сферы равен 5 см, а расстояние от её центра до прямой — 3 см. Определите взаимное расположение прямой и сферы и число общих точек. Здесь уже известны обе величины, поэтому строить чертёж или искать точки не требуется. Достаточно применить критерий сравнения.

1. Обозначим радиус R = 5 см, расстояние d = 3 см.
2. Сравним значения: 3 < 5, значит, d < R.
3. При таком условии прямая является секущей и имеет со сферой две общие точки.

Ответ: прямая пересекает сферу в двух точках и является секущей.

Пересечение в координатах

Условие: сфера задана уравнением x² + y² + z² = 25, прямая — уравнениями x = 3, z = 0. Нужно найти точки пересечения. Уравнение сферы задаёт все точки, удалённые от начала координат на 5 единиц. У прямой две координаты уже заданы, поэтому подставим их в уравнение.

1. Подставим x = 3 и z = 0: 3² + y² + 0² = 25.
2. Получим 9 + y² = 25, откуда y² = 16 и y = 4 или y = −4.
3. Для каждого значения y запишем точку, сохраняя x = 3 и z = 0.

Ответ: точки пересечения — (3; 4; 0) и (3; −4; 0). Два различных значения y подтверждают, что прямая пересекает сферу в двух точках.

Радиус к точке касания

Условие: сфера с центром O и радиусом 10 касается прямой l в точке A. Найдите расстояние от O до l и обоснуйте, что OA перпендикулярна l. Слова «касается в точке A» сообщают, что A лежит и на сфере, и на прямой. Поэтому OA — радиус, а его длина уже известна.

1. Так как A принадлежит сфере, OA = 10.
2. При касании расстояние от центра до прямой равно радиусу. Следовательно, расстояние от O до l равно 10.
3. Основание перпендикуляра из O на l — единственная ближайшая к центру точка прямой. При касании это точка A, поэтому OA ⟂ l.

Ответ: расстояние от O до l равно 10, OA перпендикулярна l.

Типичные ошибки

Сравнивать с радиусом расстояние от центра до произвольной точки прямой — ошибка: такая точка может быть дальше от центра, чем основание перпендикуляра. Её допускают, принимая любой отрезок от центра к прямой за расстояние до прямой. Проверьте, что выбранный отрезок образует прямой угол с прямой. Только его длину сравнивают с R.

Сферу иногда путают с шаром и считают, что центр принадлежит сфере. Это происходит потому, что в бытовой речи слова «сфера» и «шар» употребляют близко по смыслу, но геометрически сфера — поверхность, а шар включает внутренние точки. Проверьте расстояние: центр удалён от себя на 0, а точки сферы — на R. При положительном радиусе центр на сфере не лежит.

При d = R иногда указывают две общие точки, как при обычном пересечении. Но ближайшая точка прямой уже находится на сфере, а все остальные точки прямой дальше от центра, поэтому второй общей точки быть не может. Чтобы проверить ответ, посмотрите, равно ли расстояние от центра радиусу. Равенство означает одну точку касания.

При d < R можно ошибочно назвать общую точку только одну, представляя прямую лишь с одной стороны от центра. Однако через ближайшую точку прямая продолжается в обоих направлениях, и поверхность сферы достигается с каждой стороны. Проверьте, что уравнение пересечения даёт два значения или что по таблице при d < R указаны две точки.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать определение сферы и радиуса, а также понимать, как находить расстояние от точки до прямой. Ключевое свойство — перпендикуляр от точки к прямой короче любого другого отрезка, проведённого к ней. Без этого свойства нельзя обосновать, почему сравнивают с радиусом именно d, а не расстояние до произвольной точки прямой. Оно также помогает находить основание перпендикуляра.

Критерий d и R применяется в задачах на касательные и сечения: он подсказывает, будет ли касание или пересечение. В координатном методе тот же вопрос решают, подставляя уравнения прямой в уравнение сферы и считая решения. Две точки соответствуют секущей, одна — касательной, отсутствие решений означает, что прямая не пересекает сферу.

Что запомнить

• Обозначим радиус сферы через R, расстояние от её центра до прямой — через d.
• При d > R прямая и сфера не имеют общих точек.
• При d = R прямая касается сферы в одной точке.
• При d < R прямая пересекает сферу в двух точках.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Основание перпендикуляра из центра на прямую — ближайшая к центру точка прямой.