3.7. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром, а расстояние — радиусом сферы. Например, все точки сферы радиуса r удалены от её центра на r. Определение помогает описывать форму и положение сферы с помощью центра и одного числа.

Цилиндрическая поверхность образована параллельными прямыми, проходящими через точки окружности. Эта окружность называется направляющей, а параллельные прямые — образующими. Представьте, что прямые движутся вдоль одной и той же окружности, не меняя направления: вместе они образуют боковую поверхность цилиндра. Такое описание нужно, чтобы понимать, какую именно поверхность касается сфера.

Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность, касается её изнутри. Центр такой сферы лежит на оси цилиндрической поверхности, а радиус сферы совпадает с радиусом цилиндра. Речь идёт о касании боковой поверхности, а не обязательно о касании ограниченного цилиндра вместе с основаниями. Это различие важно, когда требуется найти высоту цилиндра.

Окружность касания — окружность, по которой сфера соприкасается с цилиндрической поверхностью. Её плоскость перпендикулярна оси цилиндра и проходит через центр сферы. Поэтому касание происходит сразу во всех точках этой окружности, а не в одной точке. Понятие окружности касания позволяет точно указать место соприкосновения тел.

Как это устроено

Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси. В нём боковая поверхность выглядит как окружность, а ось проходит через её центр. Чтобы сфера целиком помещалась внутри цилиндра и касалась боковой поверхности, расстояние от центра сферы до любой ближайшей точки поверхности должно быть одинаковым. Если центр сместить от оси, на одной стороне зазор станет меньше, чем на другой, поэтому касания всей сферой не получится. Значит, центр должен находиться на оси, а расстояние от него до боковой поверхности равно радиусу цилиндра.

При расположении центра на оси расстояние от него до боковой поверхности в поперечном сечении равно радиусу цилиндра. Одновременно это расстояние является радиусом сферы, проведённым к точке касания. Поэтому радиусы совпадают: если обозначить радиус сферы через r, а радиус цилиндра через R, то r = R. Если бы они отличались, сфера либо не достигала бы стенки, либо выходила бы за неё. Равенство радиусов относится к касанию боковой поверхности изнутри.

Почему точек касания много и они образуют окружность? Пусть O — центр сферы на оси, а точка боковой поверхности находится на расстоянии R от оси. Её расстояние до O складывается из поперечного расстояния R и смещения вдоль оси: по теореме Пифагора квадрат расстояния равен R² + z², где z — смещение. Для касания расстояние должно равняться радиусу сферы R, поэтому R² + z² = R² и z = 0. Значит, все точки касания лежат на одном уровне и образуют окружность.

Из того же рассуждения следует положение плоскости окружности касания. У всех её точек одинаковая координата вдоль оси — нулевая относительно центра сферы. Поэтому окружность лежит в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через центр сферы. Такая плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по окружности, а сферу — по той же окружности. Это даёт удобный способ представить место касания в пространстве.

Нужно отличать боковую цилиндрическую поверхность от ограниченного цилиндра, у которого есть два основания. Равенство радиусов гарантирует касание боковой поверхности, но ничего не говорит о расстоянии между основаниями. Чтобы сфера касалась обоих оснований, её центр должен быть посередине между ними, а от центра до каждого основания должно быть расстояние r. Следовательно, высота цилиндра равна 2r, то есть диаметру сферы; без этого дополнительного условия высота может быть другой.

Условия и элементы сферы, касающейся цилиндрической поверхности

Сначала определите, говорится ли только о боковой поверхности или также об основаниях: от этого зависит, можно ли найти высоту. Затем используйте равенство радиусов и описание окружности касания. Последнее условие таблицы применяйте только при касании сферы обоих оснований.

Разбор задач

Радиус цилиндрической поверхности равен 5 см. Найдите радиус сферы, касающейся её изнутри.

1. Обозначим радиус цилиндра через R, а радиус сферы через r. По условию R = 5 см.
2. При касании сферы изнутри её центр лежит на оси цилиндра, поэтому расстояние от центра до боковой поверхности равно R. Это расстояние одновременно является радиусом сферы.
3. Запишем связь r = R и подставим известное значение: r = 5 см.

Ответ: 5 см. Здесь не требуется искать высоту цилиндра: условие касается только его боковой поверхности.

Радиус сферы равен 4 см, а её центр лежит на оси цилиндрической поверхности. Определите радиус цилиндра и опишите расположение окружности касания.

1. Обозначим радиус сферы через r = 4 см, а радиус цилиндра через R. Для касания изнутри радиусы равны, значит, R = r = 4 см.
2. Точки касания находятся на боковой поверхности на расстоянии R от оси. Чтобы расстояние от центра сферы до каждой из них равнялось r = R, их смещение вдоль оси должно быть нулевым.
3. Следовательно, точки касания образуют окружность на одном уровне с центром сферы. Она лежит в плоскости, которая проходит через центр и перпендикулярна оси цилиндра.

Ответ: радиус цилиндра равен 4 см; окружность касания расположена в плоскости через центр сферы, перпендикулярной оси.

В ограниченный цилиндр вписана сфера радиуса 6 см, касающаяся боковой поверхности и обоих оснований. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

1. Сначала используем касание боковой поверхности: радиус основания цилиндра совпадает с радиусом сферы, поэтому R = 6 см.
2. Касание обоих оснований означает, что от центра сферы до каждого основания расстояние равно её радиусу, то есть 6 см.
3. Основания находятся по разные стороны от центра, поэтому высота цилиндра равна сумме этих расстояний: h = 6 + 6 = 12 см.

Ответ: радиус основания — 6 см, высота цилиндра — 12 см. Радиус найден по боковому касанию, а высота — по дополнительному условию о двух основаниях.

Типичные ошибки

Считать, что сфера касается цилиндрической поверхности в одной точке, — значит переносить на эту ситуацию привычное представление о касательной к окружности. Здесь боковая поверхность и сфера совпадают по окружности, а не в отдельной точке. Проверка: мысленно проведите сечение плоскостью через ось и центр сферы — касанию соответствует целая окружность, перпендикулярная оси.

Иногда предполагают, что центр сферы может находиться вне оси цилиндра. Такое смещение делает расстояния от центра до противоположных участков боковой поверхности разными, поэтому сфера не будет касаться её изнутри равномерно. Проверяйте положение центра по поперечному сечению: он должен совпадать с центром окружности цилиндра, а значит, лежать на оси.

Радиус сферы путают с диаметром цилиндра, потому что в задаче участвуют два разных тела. Но боковая поверхность находится на расстоянии одного радиуса от оси, и именно это расстояние равно радиусу сферы: r = R, а не 2R. Для самопроверки изобразите радиус цилиндра от оси до стенки и радиус сферы от её центра до точки касания.

Высоту цилиндра иногда без основания принимают равной диаметру сферы. Такое значение получается лишь при касании сферы обоих оснований; касание боковой поверхности высоту не определяет. Перед вычислением проверьте формулировку: если оба основания не упомянуты, вывод h = 2r делать нельзя.

Связь с другими темами

Для изучения темы пригодятся определения сферы, шара и цилиндра, а также представление об оси и радиусе цилиндра. Нужно уметь находить расстояние от точки до прямой и до плоскости: именно такие расстояния объясняют расположение центра и плоскости касания. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, помогает свести пространственную картину к окружностям на плоскости.

Эти свойства используют в задачах о взаимном расположении тел и их сечениях. Они помогают находить элементы вписанных и описанных тел, если известны условия касания. Разделяя касание боковой поверхности и касание оснований, можно не вводить лишних условий и выбирать правильные формулы.

Что запомнить

• Центр сферы, касающейся боковой цилиндрической поверхности изнутри, лежит на оси цилиндра.
• Радиус такой сферы равен радиусу цилиндрической поверхности.
• Сфера касается цилиндрической поверхности по окружности.
• Плоскость окружности касания перпендикулярна оси цилиндра.
• Если сфера касается обоих оснований ограниченного цилиндра, его высота равна диаметру сферы.
• Касание боковой поверхности само по себе не задаёт высоту цилиндра.