3.8. Сфера, вписанная в коническую поверхность

Определения и обозначения

Коническая поверхность образована прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания. Эти прямые вместе составляют боковую поверхность, а отдельную из них можно представить как образующую. Определение помогает понять, к каким линиям должна прикасаться вписанная сфера.

Сфера, вписанная в конус, касается его боковой поверхности и плоскости основания. Такое условие включает сразу два касания: только контакта с боковой поверхностью недостаточно. Это определение позволяет отличить вписанную сферу от любой сферы, просто расположенной внутри конуса.

Осевое сечение — сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Оно является равнобедренным треугольником: боковые стороны соответствуют образующим, а основание — диаметру основания конуса. Это сечение нужно, чтобы заменить часть пространственных рассуждений знакомыми свойствами треугольника.

Образующая конуса — отрезок боковой поверхности от вершины до окружности основания. В осевом сечении она становится боковой стороной равнобедренного треугольника, тогда как высота конуса идёт к центру основания. Различие важно: образующая и высота имеют разную длину и входят в разные места вычислений.

Как это устроено

Центр сферы, касающейся боковой поверхности, должен иметь одинаковое расстояние до образующих конуса: это расстояние равно радиусу сферы. В осевом сечении образующие представлены симметричными боковыми сторонами треугольника, и центр вписанной окружности равноудалён от них. Симметрия такого сечения помещает центр окружности на ось конуса. Поэтому и центр вписанной сферы находится на оси.

Проведём плоскость осевого сечения через ось и центр сферы. Она пересекает конус по равнобедренному треугольнику, а боковую поверхность — по двум образующим. Сфера пересекается этой плоскостью по окружности, которая касается боковых сторон треугольника и линии, соответствующей основанию конуса. Значит, задача о сфере сводится к поиску окружности, вписанной в равнобедренный треугольник.

Радиус полученной окружности равен радиусу сферы, потому что сечение проходит через центр сферы. Плоскость сечения перпендикулярна плоскости окружности касания с боковой поверхностью: обе плоскости проходят через ось или центр и пересекаются по линии, направленной к точке касания. Поэтому в сечении расстояние от центра до образующей — тот же перпендикуляр, что и радиус сферы. Его удобно находить средствами планиметрии.

Обозначим высоту конуса через h, радиус основания через R, образующую через l, а радиус сферы через r. Осевое сечение делится высотой на прямоугольные треугольники с катетами h и R и гипотенузой l, поэтому l² = h² + R². Площадь треугольника осевого сечения равна Rh, а полупериметр — l + R. Радиус вписанной окружности равен площади, делённой на полупериметр, откуда r = hR/(l + R).

Точка касания сферы с плоскостью основания лежит на оси, так как перпендикуляр из центра сферы к основанию проходит через эту точку, а центр находится на оси. Касание боковой поверхности происходит по окружности, а не в одной точке. Эта окружность лежит в плоскости, параллельной основанию: плоскость касания перпендикулярна оси, как и плоскость основания.

Элементы конуса и вписанной сферы

Сначала по известным h и R найдите образующую, затем используйте её и остальные величины в формуле для r. Если в задаче неизвестна высота или радиус основания, формулу можно объединить с равенством l² = h² + R². Проверяйте, что все длины заданы в одних единицах.

Разбор задач

Центр и радиус в осевом сечении

В осевом сечении конуса нужно указать центр и радиус вписанной сферы. Секущая плоскость проходит через ось, поэтому она проходит и через центр сферы. Боковая поверхность в сечении даёт две образующие, а плоскость основания — отрезок диаметра.

1. Изобразите осевое сечение как равнобедренный треугольник. Его боковые стороны соответствуют боковой поверхности, а основание — плоскости основания конуса.
2. Впишите в треугольник окружность, касающуюся всех трёх сторон. Её центр — точка пересечения биссектрис углов треугольника, лежащая на оси конуса.
3. Радиус этой окружности проведите перпендикулярно к любой стороне треугольника. Он равен радиусу сферы, поскольку сечение проходит через её центр.

Ответ: центр сферы — центр окружности, вписанной в осевое сечение; радиус сферы равен радиусу этой окружности.

Высота 12, радиус основания 5

Найдём радиус вписанной сферы, если высота конуса равна 12, а радиус основания равен 5. Напрямую подставить данные в формулу для r нельзя: сначала нужна образующая. Её можно найти из прямоугольного треугольника с катетами h и R.

1. По теореме Пифагора l = √(h² + R²) = √(12² + 5²) = √169 = 13.
2. Подставьте значения в формулу радиуса сферы: r = hR/(l + R) = 12 · 5/(13 + 5) = 60/18.
3. Сократите дробь: 60/18 = 10/3. Приблизительно это 3,33, что меньше радиуса основания и высоты, как и ожидается.

Ответ: радиус вписанной сферы равен 10/3.

Радиус основания 6, радиус сферы 2

Известны R = 6 и r = 2; требуется найти высоту конуса. Здесь неизвестна и образующая, поэтому одной формулы r = hR/(l + R) недостаточно. Используем её вместе с равенством l² = h² + R².

1. Подставьте заданные радиусы в формулу: 2 = 6h/(l + 6). После умножения на l + 6 получаем 2l + 12 = 6h, то есть l = 3h − 6.
2. Подставьте найденное выражение для l в теорему Пифагора: (3h − 6)² = h² + 36. Раскрывая скобки, получаем 9h² − 36h + 36 = h² + 36.
3. Сократите равные слагаемые и решите уравнение: 8h² − 36h = 0, или 4h(2h − 9) = 0. Высота не может быть нулевой, поэтому h = 9/2 = 4,5.

Проверка: при h = 4,5 образующая l = 3 · 4,5 − 6 = 7,5, и 7,5² = 4,5² + 6². Ответ: высота конуса равна 4,5.

Типичные ошибки

• Считать, что центр сферы можно расположить вне оси. Тогда расстояния от него до разных образующих не будут одинаковыми, хотя для касания сферой всей боковой поверхности они должны равняться её радиусу. Проверка: в осевом сечении центр должен быть равноудалён от обеих боковых сторон равнобедренного треугольника.

• Путать радиус сферы r с радиусом основания R. Они обозначают разные отрезки и обычно не равны: их связывает формула r = hR/(l + R). Проверить подстановку можно по условию задачи и по смыслу: радиус основания измеряют в плоскости основания, а радиус сферы — от её центра до поверхности.

• Подставлять в формулу вместо образующей высоту конуса. Это происходит, когда оба отрезка считают «длиной от вершины», не учитывая их разные направления; образующая наклонена к основанию, а высота перпендикулярна ему. Проверьте прямоугольный треугольник: l — гипотенуза, значит, l² = h² + R² и l больше h.

• Считать касанием сферы только касание боковой поверхности. Тогда сфера может не касаться основания и не будет вписанной по определению. Перед решением проверьте оба условия: касание боковой поверхности и касание плоскости основания.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны осевые сечения конуса, теорема Пифагора и свойство радиуса, проведённого в точку касания перпендикулярно касательной. Осевое сечение связывает геометрию конуса с вписанной окружностью в треугольник, позволяя переносить пространственную задачу в планиметрию. Найденный радиус сферы можно использовать в задачах о площадях и объёмах конуса и сферы.

Что запомнить

• Центр сферы, вписанной в конус, лежит на его оси.
• Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник.
• Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение.
• Образующая связана с высотой и радиусом основания равенством l² = h² + R².
• Радиус вписанной сферы равен hR/(l + R).
• Сфера касается и боковой поверхности конуса, и плоскости его основания.