3.9. Сечения цилиндрической поверхности

Определения и обозначения

Цилиндрическая поверхность — поверхность, образованная параллельным перемещением прямой вдоль заданной кривой. Представь, что прямая движется, не меняя направления, и всё время проходит через точки кривой: след всех её положений и будет поверхностью. Такое описание помогает понять, почему цилиндрическая поверхность состоит из прямых линий.

Направляющая — кривая, вдоль которой перемещается образующая при построении цилиндрической поверхности. Она задаёт форму поверхности: например, если направляющая — окружность, получается поверхность кругового цилиндра. Зная направляющую, можно определить, через какие точки проходят образующие.

Образующая цилиндрической поверхности — прямая, перемещающаяся параллельно заданному направлению и образующая поверхность. Все образующие параллельны друг другу, поэтому их направление позволяет исследовать положение секущей плоскости. В прямом круговом цилиндре образующие боковой поверхности перпендикулярны плоскостям оснований.

Сечение цилиндрической поверхности — множество точек её пересечения с секущей плоскостью. Иными словами, это линия, в которой плоскость встречает поверхность, а не закрашенная плоская фигура. Определение нужно, чтобы не смешивать сечение поверхности и сечение цилиндра как объёмного тела.

Как это устроено

Направляющая задаёт, через какие точки должны проходить прямые, а выбранное направление определяет, как эти прямые расположены друг относительно друга. Через каждую точку направляющей проводят параллельную этому направлению прямую — образующую. Совокупность всех таких прямых и образует цилиндрическую поверхность, поэтому в её устройстве важны сразу и кривая, и направление. Для прямого кругового цилиндра направляющей служит окружность, а образующие параллельны оси.

Если секущая плоскость параллельна образующим, то она содержит направление этих прямых. Поэтому при пересечении с поверхностью плоскость может совпасть с целыми образующими, а не только задеть отдельные точки каждой из них. Основание каждой такой образующей лежит в точке встречи плоскости с направляющей. Так возникает связь между точками пересечения направляющей и прямыми линиями сечения; у круговой направляющей обычно получаются две точки и две образующие.

У прямого кругового цилиндра плоскость, перпендикулярная оси, параллельна плоскостям оснований. В любом таком поперечном сечении точки боковой поверхности находятся на одинаковом расстоянии от оси, равном радиусу основания. Множество точек на одинаковом расстоянии от центра в одной плоскости образует окружность. Поэтому сечение именно боковой поверхности — окружность, а если рассматривается цилиндр как тело, плоское сечение включает круг.

Если плоскость наклонена к оси и не параллельна образующим, то она пересекает образующие на разных высотах. Когда плоскость пересекает боковую поверхность прямого кругового цилиндра, линия сечения замыкается и имеет форму эллипса. Это можно увидеть через проекцию на основание: круговая граница при наклонном пересечении растягивается вдоль направления наклона. Чем сильнее наклон плоскости к основанию, тем длиннее большая ось эллипса; при перпендикулярности оси сечение снова становится окружностью.

Сечение поверхности и сечение тела отвечают на разные вопросы. В первом случае рассматривают только точки, одновременно принадлежащие поверхности и секущей плоскости, поэтому результатом является линия. Во втором случае плоскость проходит через весь объём цилиндра, и в сечение входят все точки тела, лежащие в этой плоскости. Например, граница такого сечения может быть эллипсом, а само сечение — областью внутри него.

Сечения прямого кругового цилиндра плоскостями разного положения

Пользуйся таблицей, сначала определив положение плоскости относительно оси и образующих. Затем отдельно уточни, спрашивают ли о поверхности или о цилиндре как теле: в последнем случае к граничной линии добавляется внутренняя область. Для плоскости, параллельной оси, также проверь, проходит ли она внутри цилиндра, касается ли его или проходит через ось.

Разбор задач

1. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси

Условие. Определить вид сечения боковой поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси. Здесь требуется назвать линию пересечения поверхности с плоскостью, а не фигуру, полученную при разрезании всего тела. Поэтому сначала используем положение плоскости, а затем учитываем круговую форму основания.

1. Ось прямого кругового цилиндра перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому секущая плоскость параллельна основаниям.
2. В поперечном сечении точки боковой поверхности находятся на постоянном расстоянии от оси — это расстояние равно радиусу цилиндра.
3. Линия точек одной плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от её центра, является окружностью.

Ответ. Боковая поверхность пересекается с плоскостью по окружности. Если бы требовалось сечение цилиндра как тела, ответом был бы круг, ограниченный этой окружностью. Такое различие нужно сохранять даже тогда, когда в чертеже область сечения закрашивают.

2. Плоскость параллельна оси

Условие. Описать пересечение боковой поверхности цилиндра с плоскостью, параллельной его оси, если плоскость проходит внутри цилиндра, но не через ось. Поскольку плоскость параллельна оси, она параллельна и направлению образующих прямого цилиндра. Слово «внутри» означает, что плоскость пересекает круговую направляющую в двух точках, а не касается её.

1. Рассмотрим направляющую-окружность в основании и найдём точки её пересечения с плоскостью основания, содержащей эту направляющую, или с параллельной ей плоскостью, задающей сечение.
2. Через каждую из двух точек направляющей проходит образующая цилиндрической поверхности.
3. Так как секущая плоскость параллельна образующим, обе найденные образующие лежат в ней и образуют пересечение с боковой поверхностью.

Ответ. Сечение боковой поверхности состоит из двух параллельных образующих. Оно не является прямоугольником: прямоугольник может быть сечением всего цилиндра вместе с участком плоскости внутри тела, тогда как здесь рассматривается только боковая поверхность. Если плоскость касается цилиндра, вместо двух образующих останется одна.

3. Наклонное сечение и его размеры

Условие. В прямом круговом цилиндре радиус основания равен R, а секущая плоскость образует с плоскостью основания угол α, где 0 < α < 90°. Найти форму сечения боковой поверхности и основные размеры. Чтобы найти их, нужно связать наклон плоскости с тем, насколько изменяется высота сечения при перемещении по основанию.

1. Плоскость, наклонённая к основанию на угол α и пересекающая боковую поверхность, даёт эллипс; его малая полуось равна радиусу R.
2. В направлении наклона горизонтальная длина от центра основания до края круга равна R, а соответствующее изменение высоты равно R · tg α.
3. На плоскости расстояние, соответствующее горизонтальной длине R, равно R / cos α, поскольку его горизонтальная проекция уменьшается в cos α раз.
4. Значит, большая полуось эллипса равна R / cos α, малая полуось — R; полные оси равны соответственно 2R / cos α и 2R.

Ответ. Линия сечения — эллипс с полуосями R и R / cos α. При α = 0 плоскость параллельна основанию и полуоси совпадают: получается окружность радиуса R. Чем ближе наклон к вертикальному положению, тем длиннее большая ось, что согласуется с растяжением сечения в направлении наклона.

Типичные ошибки

• Считать линию сечения заполненным кругом или эллипсом. Так происходит, когда смешивают поверхность с объёмным телом или ориентируются на закрашенный чертёж. Проверь себя: если речь именно о поверхности, ответ должен описывать только границу — окружность, эллипс или образующие.

• Считать, что любая плоскость через ось даёт окружность. Вероятно, путают осевое сечение с поперечным, потому что оба проходят через центр цилиндра. Проверь положение плоскости: проходящая через ось и содержащая образующие пересекает боковую поверхность по ним, а окружность получается в плоскости, перпендикулярной оси.

• Путать плоскости, параллельную оси, и перпендикулярную оси. Их названия похожи, но направления существенно различаются, поэтому и линии сечения не совпадают. Нарисуй ось и отметь прямой угол или параллельность: параллельная оси плоскость даёт образующие, перпендикулярная — окружность.

• Называть любое наклонное сечение окружностью. Ошибку провоцирует вид основания: кажется, что всякое пересечение круглого цилиндра должно быть кругом. Проверь, перпендикулярна ли плоскость оси; если она наклонена к оси и не параллельна образующим, сечение боковой поверхности обычно эллиптическое.

Связь с другими темами

Для изучения сечений нужно знать определение цилиндра, его оси, оснований и образующих, а также уметь определять взаимное положение прямой и плоскости. Эти понятия помогают понять, какие образующие могут целиком лежать в секущей плоскости. При описании формы сечения используются свойства окружности и эллипса, а вычисление размеров наклонного сечения опирается на соотношения в прямоугольном треугольнике.

Тема пригодится при изучении сечений других тел плоскостями и при построении чертежей в стереометрии. Умение отличать линию пересечения поверхности от плоской области сечения помогает правильно читать геометрические изображения и формулировать ответы. Тот же подход — сначала исследовать положение плоскости, затем определить форму пересечения — полезен и для других пространственных фигур.

Что запомнить

• Сечение поверхности — это линия пересечения с плоскостью.
• Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной оси прямого кругового цилиндра, — окружность.
• Плоскость, параллельная образующим, пересекает поверхность по образующим.
• Наклонное сечение прямого кругового цилиндра, не параллельное образующим, имеет форму эллипса.
• Сечение цилиндра как тела может включать внутреннюю область, сечение его поверхности — нет.