"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Цилиндрическая поверхность состоит из параллельных прямых — образующих, которые пересекают заданную линию, например окружность. Её пересечение с плоскостью называют сечением. Вид получившейся линии зависит от положения плоскости: при перпендикулярном сечении получается окружность, при параллельном оси — одна или две образующие, а при общем наклонном положении — эллипс. Это помогает исследовать форму поверхности и решать задачи на её сечения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндрическая поверхность — поверхность, образованная движением прямой, параллельной данной прямой и пересекающей заданную линию. Заданную линию называют направляющей. Это определение описывает поверхность как множество точек, получающихся при переносе одной прямой в пространстве.
Образующая цилиндрической поверхности — прямая, из перемещения которой получается цилиндрическая поверхность. Все образующие сохраняют одно и то же направление и потому параллельны друг другу. По образующим удобно изучать устройство поверхности и её пересечение с плоскостью.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая цилиндрическую поверхность. Её положение задаётся отношением к оси цилиндра и к направлению образующих. Именно это положение определяет форму линии пересечения.
Сечение цилиндрической поверхности — фигура, полученная при пересечении поверхности секущей плоскостью. В отличие от сечения цилиндра как тела, это не область, а линия. Ею может быть окружность, эллипс или одна либо две образующие.
Все образующие параллельны оси, потому что при построении поверхности движущуюся прямую переносят, не меняя её направления. Каждая образующая определяется своей точкой на направляющей: через выбранную точку проводят прямую, параллельную оси. Поэтому, зная направляющую и направление образующих, можно восстановить всю цилиндрическую поверхность.
Вид сечения зависит от того, как секущая плоскость расположена относительно оси. Если плоскость перпендикулярна оси, она пересекает образующие под прямым углом. Если плоскость параллельна оси, она содержит направление образующих, а при наклонном положении пересекает образующие под разными углами.
Рассмотрим плоскость, перпендикулярную оси. Каждая образующая пересекает её в одной точке, а расстояние от этой точки до оси равно радиусу направляющей окружности. Все такие точки лежат на окружности одного радиуса, поэтому сечение совпадает с окружностью, равной направляющей.
Плоскость, параллельная оси, имеет то же направление, что и образующие. Если она пересекает направляющую окружность в двух точках, через эти точки проходят две образующие, и они составляют сечение. При касании направляющей окружности остаётся одна образующая.
При наклонном положении плоскость пересекает все образующие, но не под прямым углом. Проекция точек сечения на плоскость основания связана с окружностью, а наклон растягивает один размер сечения сильнее другого. Поэтому получается эллипс; если α — угол между секущей плоскостью и основанием, его большая ось равна 2R/sin α, где R — радиус цилиндра.
В таблице сначала определите положение плоскости, затем проверьте, какие образующие она пересекает. После этого вид сечения и его свойства находятся в соответствующей строке. Граничный случай касания нужно отличать от обычного пересечения в двух точках.
| Положение секущей плоскости | Условие пересечения | Вид сечения | Основные свойства |
|---|---|---|---|
| Перпендикулярна оси | Плоскость пересекает образующие под прямым углом | Окружность | Радиус равен радиусу направляющей окружности |
| Параллельна оси | Плоскость содержит направление образующих | Одна или две образующие | При пересечении направляющей окружности в двух точках получаются две параллельные образующие |
| Наклонна к оси и не параллельна образующим | Плоскость пересекает все образующие | Эллипс | Форма и размеры зависят от угла наклона плоскости |
Условие. Определить вид сечения цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной её оси, если радиус направляющей окружности равен 5 см. Нужно установить не только форму, но и размер полученной линии.
Ответ: окружность радиуса 5 см.
Условие. Плоскость проходит через ось цилиндрической поверхности. Описать линию её пересечения с поверхностью. Здесь нужно определить, сколько точек направляющей принадлежит плоскости.
Ответ: две образующие цилиндрической поверхности.
Условие. Плоскость пересекает цилиндрическую поверхность под углом α к основанию; радиус цилиндра R известен. Определить большую ось эллиптического сечения. Предполагается, что плоскость наклонна и не параллельна образующим.
Ответ: большая ось эллипса равна 2R/sin α.
Ошибка — считать любое сечение окружностью. Так думают из-за привычного изображения цилиндра с круглыми основаниями, но форма определяется положением плоскости. Проверьте, перпендикулярна ли плоскость оси: только тогда сечение будет окружностью.
Ошибка — путать цилиндрическую поверхность с цилиндром как телом и изображать сечение областью. Поверхность состоит только из внешней оболочки, поэтому её сечение является линией. Спросите себя, пересекаются ли плоскостью оболочка или всё внутреннее тело.
Ошибка — утверждать, что плоскость, параллельная оси, всегда даёт одну образующую. Одну образующую она даёт при касании, а при пересечении направляющей окружности в двух точках — две. Проверьте число точек пересечения плоскости с направляющей.
Ошибка — называть наклонное сечение кругом. Круг возникает лишь при перпендикулярном положении, а общее наклонное сечение является эллипсом. Сравните угол плоскости с основанием: при наклоне размеры в разных направлениях различаются.
Для понимания темы нужны определения цилиндра, оси, образующей и направляющей, а также знания о взаимном положении прямой и плоскости в пространстве. Полезно вспомнить свойства окружности, эллипса и угол между плоскостями. Эти сведения применяются при изучении сечений цилиндра, площадей поверхностей, объёмов тел вращения и изображении пространственных фигур.
Почему сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью?
Все образующие перпендикулярны такой плоскости и пересекают её в точках, находящихся на одинаковом расстоянии от оси. Поэтому множество этих точек образует окружность с тем же радиусом, что и направляющая окружность.
Всегда ли плоскость, параллельная оси, пересекает цилиндрическую поверхность по двум образующим?
Нет. Если плоскость касается поверхности, она содержит одну образующую. Обычно она пересекает направляющую окружность в двух точках, и тогда сечение состоит из двух параллельных образующих.
Чем отличается сечение цилиндрической поверхности от сечения цилиндра?
Сечение поверхности является линией: окружностью, эллипсом или образующими. Сечение цилиндра как тела представляет собой плоскую область, ограниченную такой линией.
Почему наклонное сечение имеет форму эллипса, а не произвольной замкнутой кривой?
При наклонном пересечении расстояния от точек сечения до оси изменяются закономерно, а проекция сечения на основание является окружностью. Такое преобразование окружности при наклонном срезе даёт эллипс.
Как по положению секущей плоскости определить вид сечения?
Сначала нужно сравнить плоскость с осью цилиндра. Перпендикулярность оси даёт окружность, параллельность оси — одну или две образующие, а наклонное положение, при котором плоскость пересекает все образующие, — эллипс.
72. Сечения цилиндрической поверхности
