"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Вписанная в прямой круговой конус сфера касается плоскости основания и боковой конической поверхности. Её центр находится на оси конуса, а в осевом сечении сфера выглядит как окружность, вписанная в равнобедренный треугольник. Это позволяет заменить пространственную задачу плоской и найти радиус сферы по радиусу основания R, высоте h и образующей l: ρ = Rh/(R + l). Для расчётов также используют равенство l² = h² + R².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Коническая поверхность — поверхность, образованная движением прямой, проходящей через вершину конуса и точки окружности основания. Каждое положение этой прямой называют образующей. Это определение помогает понять, почему боковая поверхность конуса в осевом сечении превращается в две прямые стороны треугольника.
Вписанная сфера — сфера, расположенная внутри конуса и касающаяся его основания и боковой конической поверхности. Касание означает, что у сферы и поверхности есть общая точка, а сфера при этом не выходит за пределы конуса. Такое описание задаёт условия, которым должны отвечать положение центра и радиус сферы.
Осевое сечение конуса — сечение плоскостью, проходящей через его ось; оно представляет собой равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны образующим, а основание равно диаметру основания конуса, то есть 2R. В сечении удобно изучать касание окружности к сторонам треугольника вместо касания сферы к поверхностям.
Точка касания — точка, в которой сфера касается плоскости основания или конической поверхности. Радиус, проведённый в такую точку, перпендикулярен касательной плоскости. Это свойство позволяет связать радиус сферы с расстоянием до основания и определить положение точки касания.
Прямой круговой конус симметричен относительно оси: поворот вокруг неё не меняет его форму. Центр сферы должен быть равноудалён от образующих, к которым она прикасается, а точка вне оси при таком повороте перемещалась бы. Поэтому единственное положение центра, сохраняющее симметрию и равенство расстояний до боковой поверхности, — на оси конуса.
Осевое сечение содержит ось и центр сферы, поэтому плоскость проходит через центр сферы. Сфера пересекается такой плоскостью по окружности, а боковая поверхность конуса даёт две образующие — стороны равнобедренного треугольника. Плоскость основания превращается в основание этого треугольника. Так пространственные условия касания сводятся к тому, что окружность касается всех трёх сторон плоской фигуры.
Сфера касается плоскости основания в одной точке, а радиус к этой точке перпендикулярен плоскости. Перпендикулярное расстояние от центра до плоскости и есть кратчайшее расстояние между ними. Поэтому расстояние от центра сферы до основания равно радиусу ρ; в осевом сечении это радиус окружности, проведённый к основанию треугольника.
В осевом сечении окружность вписана в треугольник с основанием 2R, боковыми сторонами l и высотой h. Площадь такого треугольника равна половине произведения основания на высоту: S = ½ · 2R · h = Rh. Его полупериметр p равен (2l + 2R)/2 = R + l. Площадь треугольника также равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, S = ρp, поэтому ρ = Rh/(R + l).
Для прямого конуса высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник: высота перпендикулярна плоскости основания, а радиус лежит в этой плоскости. По теореме Пифагора l² = h² + R², поэтому недостающую величину можно найти до подстановки в формулу сферы. Центр сферы находится на высоте ρ над основанием, значит расстояние от вершины до центра равно h − ρ. Это расстояние используют, когда в задаче требуется положение центра, а не только радиус.
| Элемент или величина | Обозначение | Характеристика или формула |
|---|---|---|
| Радиус основания конуса | R | Радиус окружности основания |
| Высота конуса | h | Расстояние от вершины до плоскости основания |
| Образующая конуса | l | l² = h² + R² |
| Радиус вписанной сферы | ρ | ρ = Rh/(R + l) |
| Центр сферы | O | Лежит на оси конуса |
| Осевое сечение | — | Равнобедренный треугольник с вписанной окружностью |
| Точка касания с основанием | — | На оси конуса; расстояние до центра сферы равно ρ |
Сначала выберите строку с теми величинами, которые известны в условии, и найдите недостающие элементы конуса. Для перехода между R, h и l используйте равенство l² = h² + R². Затем подставьте значения в формулу для ρ, сохраняя единицы измерения.
В прямом круговом конусе радиус основания R = 3 см, высота h = 4 см. Найдите радиус сферы, вписанной в конус. Известных данных пока недостаточно для формулы ρ = Rh/(R + l), потому что в ней есть образующая l. Поэтому сначала найдём её по теореме Пифагора.
Находим образующую: l = √(h² + R²) = √(4² + 3²) = √25 = 5 см. Это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами h и R.
Подставляем значения в формулу радиуса сферы: ρ = 3 · 4/(3 + 5) = 12/8 = 1,5 см. В знаменателе стоит сумма радиуса основания и образующей, а не сумма R и h.
Ответ: 1,5 см. Полученный радиус меньше высоты и радиуса основания, что соответствует расположению сферы внутри конуса.
Радиус основания конуса равен 5 см, образующая — 13 см. Найдите высоту конуса и радиус вписанной сферы. Здесь известны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника осевого сечения. Поэтому сначала восстановим высоту, а затем применим формулу для ρ.
Из равенства l² = h² + R² получаем h² = l² − R² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Поскольку высота — положительная длина, h = 12 см.
Вычисляем радиус сферы: ρ = Rh/(R + l) = 5 · 12/(5 + 13) = 60/18 = 10/3 см. Сокращаем дробь на 6 и сохраняем точное значение.
Ответ: высота конуса 12 см, радиус сферы 10/3 см. Проверка по теореме Пифагора даёт 12² + 5² = 13², значит найденная высота согласуется с условием.
Радиус вписанной сферы равен 6 см, высота конуса — 15 см. Найдите радиус основания и образующую конуса. Неизвестны и R, и l, поэтому подставим выражение l = √(R² + h²) в формулу радиуса сферы. Так получим уравнение только с одной неизвестной R.
Записываем уравнение: 6 = 15R/(R + √(R² + 15²)) = 15R/(R + √(R² + 225)). Умножаем обе части на знаменатель: 6R + 6√(R² + 225) = 15R.
Переносим 6R: 6√(R² + 225) = 9R, откуда √(R² + 225) = 3R/2. Возводим обе части в квадрат: R² + 225 = 9R²/4, поэтому 225 = 5R²/4 и R² = 180.
Берём положительный корень: R = √180 = 6√5 см. Затем находим образующую: l = √(R² + h²) = √(180 + 225) = √405 = 9√5 см.
Ответ: радиус основания 6√5 см, образующая 9√5 см. Оба значения положительны, а образующая больше высоты, как и должно быть по теореме Пифагора.
Ошибочно считать, что центр вписанной сферы может находиться вне оси конуса. Так думают, если рассматривают только одно касание и забывают об осевой симметрии: смещение центра сделало бы расстояния до боковых образующих неодинаковыми. Проверьте себя по осевому сечению: центр окружности, касающейся обеих боковых сторон равнобедренного треугольника, лежит на его оси симметрии.
Формула ρ = Rh/(R + h) получается при подмене образующей высотой. Это легко сделать, если спутать вертикальную высоту конуса с наклонной боковой стороной осевого сечения. Проверьте знаменатель по полупериметру треугольника: он равен R + l, а не R + h.
Иногда образующую принимают за независимую величину и забывают связь l² = h² + R². Причина — сосредоточенность на формуле радиуса сферы, хотя для неё часто требуется сначала вычислить третий элемент конуса. Подставьте данные в теорему Пифагора и убедитесь, что квадрат образующей равен сумме квадратов катетов.
Точку касания сферы с основанием иногда помещают в произвольное место окружности основания. Такое представление возникает, если не учесть, что в прямом конусе центр сферы расположен на оси, а перпендикуляр к основанию проходит через ось. Проверьте расположение точки: она должна быть на оси конуса, прямо под центром сферы, а расстояние между ними равно ρ.
Для решения задач нужны строение прямого кругового конуса, его осевое сечение и теорема Пифагора. Формулу ρ = Rh/(R + l) даёт свойство радиуса вписанной окружности треугольника: площадь равна произведению радиуса на полупериметр. Равенство радиуса, проведённого к точке касания, перпендикуляру к касательной плоскости объясняет связь сферы с основанием.
Эти приёмы пригодятся в задачах на площади поверхности и объёмы конуса и шара, а также на комбинации тел. Умение переходить от пространственной фигуры к сечению помогает свести сложную геометрию к знакомым соотношениям на плоскости. Найденные размеры можно использовать вместе с формулами площади и объёма соответствующих тел.
Почему центр вписанной сферы обязательно лежит на оси конуса?
Прямой круговой конус симметричен относительно своей оси. Центр сферы, касающейся основания и боковой поверхности, должен быть равноудалён от образующих конуса; это условие выполняется для точки на оси. Если центр сместить в сторону, расстояния до противоположных образующих станут разными.
Почему пространственную задачу можно решать по осевому сечению?
Осевое сечение проходит через центр сферы и ось конуса, поэтому сфера пересекается этой плоскостью по окружности. Боковая поверхность в сечении даёт две стороны равнобедренного треугольника, а основание конуса — его основание. Касания сферы превращаются в касания окружности к сторонам треугольника.
К чему именно касается вписанная сфера?
Она касается плоскости основания конуса и его боковой конической поверхности. Радиус, проведённый в точку касания с плоскостью основания, перпендикулярен этой плоскости. Для прямого конуса точка касания с основанием лежит на оси, прямо под центром сферы.
Как вывести формулу ρ = Rh/(R + l)?
В осевом сечении получаем равнобедренный треугольник со сторонами l, l и основанием 2R, а окружность радиуса ρ вписана в него. Площадь треугольника равна Rh, а полупериметр — R + l. По формуле площади через радиус вписанной окружности S = ρp получаем ρ = Rh/(R + l).
Можно ли найти параметры конуса, если известны радиус сферы и один из элементов конуса?
Часто можно, если заданных данных достаточно для составления уравнения. Используют ρ = Rh/(R + l) и связь l² = h² + R², подставляя известные величины. Например, по ρ и h можно составить уравнение относительно R, а затем найти l; при решении нужно проверить, что длины положительны.
71. Сфера, вписанная в коническую поверхность
