70. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность

Определения и обозначения

Цилиндрическая поверхность — поверхность, образованная параллельным перемещением прямой вдоль окружности. Прямые, из которых она состоит, называют образующими, а окружность задаёт её радиус R. Это описание помогает представить поверхность как множество параллельных прямых и понять, к чему именно касается сфера.

Сферой, вписанной в цилиндрическую поверхность, называют сферу, которая касается этой поверхности по окружности. Слово «вписанная» здесь говорит не о касании плоскостей или оснований, а о контакте с боковой поверхностью. Такое определение сразу задаёт геометрическое условие, которое нужно использовать в задачах.

Ось цилиндрической поверхности — прямая, относительно которой расположены её параллельные образующие. Она проходит через центры окружностей, задающих поверхность, и служит ориентиром для расположения сферы. По отношению к оси удобно определять положение центра и выбирать подходящее сечение.

Окружность касания — линия, по которой сфера соприкасается с цилиндрической поверхностью. В рассматриваемом случае она проходит через центр сферы, поэтому является большим кругом — сечением сферы плоскостью через её центр. Это позволяет связать радиус окружности касания с радиусом сферы.

Как это устроено

Чтобы разобраться в пространственном касании, проведём плоскость через ось цилиндрической поверхности и центр сферы. В таком сечении боковая поверхность изображается двумя параллельными образующими, а сфера — окружностью. Касание сферы и поверхности превращается в касание этой окружности и прямых. В плоской геометрии проще увидеть, что радиус к точке касания перпендикулярен касательной.

Центр сферы должен лежать на оси, иначе сфера не будет касаться цилиндрической поверхности по окружности. Если центр сместить в сторону, расстояния до образующих по разные стороны оси станут неодинаковыми: до одной стороны сфера окажется ближе, чем до другой. Тогда радиус сферы не сможет одновременно задавать одинаковое расстояние до всей поверхности. Центр на оси обеспечивает одинаковое расстояние до образующих вокруг неё.

Радиус сферы равен радиусу цилиндрической поверхности. В точке касания радиус сферы перпендикулярен касательной прямой, а образующая поверхности в этой точке является такой касательной. В осевом сечении перпендикулярный отрезок идёт от центра сферы до образующей; его длина равна радиусу сферы. Поскольку центр находится на оси, эта же длина равна радиусу цилиндрической поверхности.

Окружность касания получается при сечении плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через центр сферы. Сфера в этой плоскости даёт круг максимального радиуса — большой круг, потому что плоскость проходит через центр. Цилиндрическая поверхность в той же плоскости пересекается по окружности радиуса R. Радиусы этих окружностей равны, и при общем центре они совпадают: это и есть линия касания.

В задаче сначала отметьте ось и положение центра, затем установите связь радиусов: r = R. Если требуется найти радиус сферы, используйте известный радиус поверхности, и наоборот. Когда на чертеже задано касание образующей, проведите радиус к точке касания и учтите перпендикулярность. Осевое сечение помогает получить нужные длины в плоскости, не теряя геометрического смысла исходной фигуры.

Связи между элементами вписанной сферы и цилиндрической поверхности

Пользуйтесь таблицей как коротким планом решения: сначала определите положение центра, затем запишите равенство радиусов. Если в условии дана точка касания, дополнительно примените перпендикулярность радиуса образующей. Так можно выбрать нужную связь, не смешивая свойства сечения и свойства всей поверхности.

Разбор задач

Радиус цилиндрической поверхности равен 5 см. Найдите радиус вписанной сферы.

1. Обозначим радиус поверхности через R, а радиус сферы через r. По условию R = 5 см.
2. Для вписанной сферы радиусы равны: r = R. Это следует из касания сферы и образующей в осевом сечении.
3. Подставим известное значение: r = 5 см.

Ответ: 5 см.

Сфера радиуса 7 см вписана в цилиндрическую поверхность. Определите положение её центра и радиус окружности касания.

1. Обозначим радиус сферы через r. По условию r = 7 см.
2. Центр вписанной сферы находится на оси цилиндрической поверхности. Это положение обеспечивает одинаковое расстояние от центра до образующих.
3. Окружность касания — большой круг сферы, поэтому её радиус равен радиусу сферы: 7 см.

Ответ: центр лежит на оси; радиус окружности касания равен 7 см.

В осевом сечении цилиндрической поверхности задана окружность, представляющая сечение вписанной сферы, и образующая, касающаяся этой окружности. По чертежу найдите радиус сферы и положение центра.

1. В осевом сечении сфера изображается окружностью, а образующая — прямой, касательной к ней. Обозначим центр этой окружности O, а точку касания — T.
2. Радиус OT перпендикулярен касательной прямой. Значит, его длину можно найти по чертежу как расстояние от центра окружности до образующей.
3. Эта окружность — сечение сферы, поэтому её радиус OT и есть радиус сферы. Центр сферы совпадает с центром окружности сечения и располагается на оси цилиндрической поверхности.

Ответ: радиус равен расстоянию от центра окружности сечения до образующей; центр находится на оси. Без числовых данных чертежа радиус нельзя выразить конкретным числом.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что центр сферы может находиться вне оси. Так думают, когда представляют касание только в одной точке, но при смещении центра расстояния до образующих с разных сторон различаются. Проверьте себя: в осевом сечении центр окружности сферы должен лежать на оси, равноудалённой от двух образующих.

Ошибка — путать радиус сферы с диаметром цилиндрической поверхности. Диаметр — это расстояние между противоположными сторонами, а радиус идёт от оси до поверхности. Сверьте, какие именно отрезки сравниваете: в условии вписанности равны радиусы, а диаметр цилиндра вдвое больше радиуса сферы.

Ошибка — считать окружность касания произвольным сечением сферы. Касание происходит по окружности, проходящей через центр сферы, поэтому это большой круг; у произвольного сечения центр обычно не лежит в плоскости. Проверка проста: выясните, проходит ли плоскость окружности касания через центр сферы.

Ошибка — проводить радиус сферы перпендикулярно оси вместо образующей. Путают направление из-за того, что ось участвует в построении сечения, однако касательной к сфере в точке касания служит образующая. Проверьте построение: прямой угол должен быть между радиусом к точке касания и образующей, а не обязательно между радиусом и осью.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения сферы, цилиндрической поверхности, её оси и радиуса. Также пригодится свойство касательной к окружности: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это свойство объясняет, почему радиус сферы перпендикулярен образующей в точке соприкосновения.

Тема связывает пространственные фигуры с их плоскими сечениями: осевое сечение помогает увидеть касание окружности и прямой. Такой переход полезен при решении задач о взаимном расположении сферы и цилиндра. После выбора сечения пространственные соотношения часто удаётся свести к знакомым планиметрическим фактам.

Что запомнить

• Центр сферы, вписанной в цилиндрическую поверхность, лежит на её оси.
• Радиус сферы равен радиусу цилиндрической поверхности.
• Окружность касания лежит в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через центр сферы.
• Окружность касания — большой круг сферы.
• Радиус сферы в точке касания перпендикулярен образующей цилиндрической поверхности.