73. Сечения конической поверхности

Определения и обозначения

Коническая поверхность — поверхность, образованная всеми прямыми, которые проходят через одну точку-вершину и точки замкнутой кривой в плоскости основания. Здесь основанием служит окружность, а прямые называются образующими. Это определение помогает представить поверхность как множество прямых, а не путать её с заполненным телом.

Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания. Поэтому у конуса есть боковая поверхность и круг основания, а сам он включает внутреннюю часть. Различие нужно, чтобы точно назвать результат пересечения плоскостью: линию на поверхности или фигуру внутри тела.

Сечение конической поверхности — фигура, полученная при пересечении этой поверхности плоскостью. В данном случае фигура представляет собой линию, но её вид меняется вместе с положением плоскости. Это понятие позволяет сравнивать пересечения, не рассматривая внутренность конуса.

Коническое сечение — линия пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от наклона плоскости это может быть окружность, эллипс, парабола или гипербола; при прохождении через вершину возникают вырожденные случаи. Название подсказывает, какую кривую нужно ожидать и как она связана с положением плоскости.

Как это устроено

Окружность основания и вершина задают все образующие: через вершину проводят прямую к каждой точке окружности. Если перемещать точку по окружности, образующие заполняют боковую поверхность. Поэтому положение основания и вершины полностью определяет рассматриваемую поверхность, а направление образующих помогает изучать её сечения.

Плоскость, параллельная основанию и не проходящая через вершину, пересекает каждую образующую одной полости. Поскольку основание и секущая плоскость параллельны, отрезок образующей между ними имеет одинаковую долю от полной длины для всех направлений. Точки пересечения поэтому расположены по окружности; у обычного конуса это окружность меньшего радиуса, чем основание.

Если плоскость проходит через вершину, она может пересечь основание по хорде. Концы хорды соединяются с вершиной образующими, и на поверхности остаются две образующие; в особом положении они могут совпасть. Если рассматривать не только поверхность, но и всё тело, сечением будет треугольник с этой хордой в основании.

При наклоне секущей плоскости меняется характер пересечения с образующими. Когда плоскость пересекает только одну полость и не параллельна образующей, линия замыкается и получается эллипс; окружность — его частный случай. Если наклон довести до параллельности одной образующей, линия перестаёт замыкаться и становится параболой.

Направление плоскости относительно образующих объясняет и другие варианты. При параллельности образующей плоскость как бы «уходит» вдоль неё, поэтому пересечение одной полости не ограничивается замкнутой кривой и образует параболу. Если же плоскость пересекает обе полости двойной конической поверхности, линия распадается на две ветви — получается гипербола.

Виды сечений конической поверхности плоскостью

Сначала определите, проходит ли плоскость через вершину и пересекает ли она одну полость или обе. Затем сравните её направление с образующими: параллельность образующей указывает на параболу. Параллельность основанию выделяет окружность как отдельный случай.

Разбор задач

Плоскость параллельна основанию конуса и не проходит через его вершину. Нужно определить отдельно сечение боковой поверхности и сечение всего тела. Такое разделение важно: первое является линией, а второе — плоской фигурой, включающей внутренность.

1. Отметим, что плоскости основания и сечения параллельны, а вершина не лежит в секущей плоскости.
2. Каждая образующая пересекает секущую плоскость в одной точке. Так как она пересекает все образующие одной полости, точки сечения образуют замкнутую линию.
3. Для прямого кругового конуса сечение параллельно основанию и потому является окружностью. Её радиус меньше радиуса основания, поскольку плоскость расположена между основанием и вершиной.
4. Если рассматривать тело, внутри этой окружности лежит круг сечения. Следовательно, ответ зависит от того, спрашивают о боковой поверхности или о теле.

Ответ: боковая поверхность пересекается по окружности; сечение тела — круг.

Теперь изобразим сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду основания, которая не является диаметром. Искомая фигура относится к телу, поэтому нужно учесть и часть основания, попавшую в плоскость. Хорда задаёт края этой части, а вершина — третью вершину фигуры.

1. Обозначим вершину конуса S, а концы хорды основания — A и B.
2. Плоскость содержит точки S, A и B, значит, в сечении тела лежит треугольник SAB.
3. Соединим S с A и S с B. Эти отрезки принадлежат поверхности и являются частями образующих, поскольку A и B лежат на окружности основания.
4. Отрезок AB — часть основания конуса. На чертеже покажем его вместе с двумя отрезками SA и SB; поскольку хорда не является диаметром, она не проходит через центр основания.

Ответ: сечение тела — треугольник SAB; сечение боковой поверхности состоит из двух образующих SA и SB.

Наконец, плоскость пересекает одну полость поверхности и параллельна одной из её образующих. Требуется назвать коническое сечение и проследить, что произойдёт при повороте плоскости. Здесь решающим является не то, что плоскость пересекает одну полость, а её точное направление относительно образующей.

1. Параллельность образующей означает, что секущая плоскость не пересекает соседние образующие одинаковым образом и линия не замыкается.
2. Поэтому сечение одной полости представляет собой параболу.
3. При повороте плоскости так, чтобы она перестала быть параллельной образующей, но продолжала пересекать одну полость, получается замкнутое сечение — эллипс. В частности, при параллельности плоскости основанию выходит окружность.
4. Если изменить наклон так, что плоскость начнёт пересекать обе полости, сечение станет гиперболой. При прохождении плоскости через вершину возникает вырожденный случай, состоящий из образующих.

Ответ: парабола; при повороте возможен переход к эллипсу или окружности, гиперболе либо вырожденному сечению — в зависимости от нового положения плоскости.

Типичные ошибки

Считать конусом только боковую поверхность. Так происходит, когда слово «конус» связывают лишь с его наклонной частью. Но конус как тело включает ещё и основание, поэтому нужно уточнять, пересекается ли поверхность или всё тело. Проверьте себя: если в ответе фигурирует круг сечения, речь идёт о теле.

Утверждать, что любое сечение конуса — окружность. Окружность получается при специальном положении плоскости, параллельной основанию. Наклонная плоскость может дать эллипс, параболу или гиперболу. Чтобы проверить ответ, сравните направление плоскости с основанием и образующими.

Путать сечение поверхности и сечение тела. Первое — линия пересечения с боковой поверхностью, второе — вся плоская фигура внутри конуса. Их смешивают, потому что оба результата лежат в одной плоскости. Проверьте формулировку задачи: спрашивают линию или фигуру вместе с её внутренней частью?

Не учитывать вершину или вторую полость. Если плоскость проходит через вершину, сечение может выродиться в образующие, а если пересекает обе полости — стать гиперболой. Эти случаи пропускают, рассматривая только один видимый участок конуса. Для проверки определите, лежит ли вершина в плоскости и какие полости пересекаются.

Связь с другими темами

Для работы с коническими сечениями нужны знания о плоскости, прямой, окружности, параллельности и пересечении фигур. В стереометрии уже изучены конус, его образующая и осевое сечение, поэтому здесь знакомые понятия помогают представить пространственную картину. Позже эллипс, парабола и гипербола будут изучаться как самостоятельные кривые и описываться уравнениями в аналитической геометрии.

Что запомнить

• Коническая поверхность образована образующими, проходящими через вершину.
• Вид сечения определяется положением секущей плоскости.
• Плоскость, параллельная основанию, даёт окружность.
• Плоскость через вершину пересекает поверхность по образующим.
• Параллельность плоскости образующей связана с параболическим сечением.
• Если плоскость пересекает обе полости, сечение является гиперболой.