"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Объём показывает, сколько места занимает тело, и помогает сравнивать вместимость предметов и пространств. Его измеряют кубическими единицами: например, кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см. У прямоугольного параллелепипеда объём находят, перемножая длину, ширину и высоту: V = abc. Формула работает и для дробных измерений, если все три величины записаны в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём — величина, которая показывает, сколько места занимает тело в пространстве. Чтобы сравнить объёмы, выбирают единицу объёма и выясняют, сколько таких единиц содержится в теле. Это помогает измерять вместимость коробок, помещений и других предметов, а также сравнивать их между собой.
Единица объёма — объём куба, ребро которого равно единице длины. Если единицей длины выбран сантиметр, единицей объёма становится куб со стороной 1 см; для метра получают кубический метр. Поэтому при переходе от длины к объёму единицу длины возводят в третью степень: например, метр превращается в кубический метр.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трёх измерений: длины, ширины и высоты. Обычно их обозначают буквами a, b и c, а объём — буквой V, поэтому формула имеет вид V = abc. Такое обозначение удобно применять и для вычислений, и для поиска неизвестного измерения.
Кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см. Его записывают как 1 см³: верхний индекс 3 показывает, что сантиметр умножается сам на себя три раза, то есть см³ = см · см · см. См² обозначает площадь квадрата со стороной 1 см, поэтому квадратный и кубический сантиметры измеряют разные величины.
Сравнивать тело с единичным кубом удобно потому, что кубы одинакового размера можно укладывать друг к другу без пустот. Если тело полностью заполняется такими кубами, достаточно пересчитать их, чтобы получить объём. Условие «без промежутков и наложений» необходимо: пустые места занизили бы результат, а двойной учёт одних и тех же участков завысил бы его.
Не всякое тело можно заполнить целым числом кубов с ребром в выбранную единицу. Тогда единичный куб мысленно делят на меньшие кубики: например, каждое его ребро можно разделить на равные доли. Полученные кубики меньшего размера позволяют точнее измерять объём, как деление единицы длины позволяет измерять отрезки, короче этой единицы.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, размеры которого выражены целыми числами в единицах ребра кубика. На его дне укладывается один слой: вдоль длины помещается a кубиков, а вдоль ширины — b рядов. Значит, в слое ab кубиков; высота показывает, сколько одинаковых слоёв нужно поставить один на другой.
Если слоёв c, а в каждом ab кубиков, общее число кубиков равно ab · c. Каждый кубик имеет объём, равный одной кубической единице, поэтому это число одновременно задаёт объём тела: V = abc. Все три измерения нужны, потому что длина и ширина определяют заполнение одного слоя, а высота — количество слоёв. Если учесть только два измерения, получится площадь основания, а не объём.
Дробные измерения не отменяют формулу: их можно разбить на небольшие доли и рассматривать получившиеся части. Объёмы равных тел равны, а объём целого тела складывается из объёмов непересекающихся частей. Поэтому после разбиения можно применить подсчёт к частям и получить тот же результат, что даёт V = abc; все длины при этом должны быть в одной единице.
| Что рассматривается | Как определить или вычислить | Единица измерения |
|---|---|---|
| Объём прямоугольного параллелепипеда | Перемножить длину, ширину и высоту: V = abc | Кубические единицы, например см³ |
| Объём куба | Умножить его ребро само на себя три раза: V = a³ | Кубическая единица длины |
| Связь объёма с измерениями | Три измерения длины дают V = abc; при измерениях в см результат в см³ | Единица длины в третьей степени |
| Переход между кубическими единицами | Учитывать, что переход по длине возводится в третью степень: 1 м³ = 1 000 000 см³ | Например, м³ и см³ |
Сначала выбери строку, которая соответствует известным данным, а затем проверь, в каких единицах записаны размеры. Если нужно перейти между кубическими единицами, учитывай, что множитель для длины применяется три раза. Например, 1 м = 100 см, поэтому 1 м³ = 100 · 100 · 100 см³.
Найти объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 3 см и 2 см. Все данные уже заданы в сантиметрах, поэтому переводить единицы не нужно. Обозначим измерения через a, b и c и используем формулу V = abc. В конце проверим, что единица ответа относится к объёму.
Ответ: 24 см³.
Найти объём коробки длиной 1,2 м, шириной 50 см и высотой 40 см. Перед применением формулы нужно привести размеры к одной единице, иначе произведение чисел не будет соответствовать корректному объёму. Удобно перевести метры в сантиметры, потому что два размера уже даны в сантиметрах. После вычисления объём будет выражен в см³.
Ответ: 240 000 см³.
Прямоугольный параллелепипед имеет объём 360 см³, длину 12 см и ширину 5 см. Нужно найти высоту. В формуле V = abc высота c умножается на произведение известных длины и ширины, поэтому для её нахождения разделим объём на это произведение. Проверка размерности поможет убедиться, что мы нашли длину, а не площадь или объём.
Ответ: высота равна 6 см.
Иногда перемножают только длину и ширину и получают ab. Это площадь основания, а не объём: в вычислении не учтено, сколько слоёв помещается по высоте. Такую ошибку допускают, когда воспринимают основание как всё тело. Проверь себя: в формуле объёма должно быть три измерения, V = abc.
Другая ошибка — записать результат в сантиметрах или квадратных сантиметрах. Сантиметр измеряет длину, а квадратный сантиметр — площадь, тогда как объём требует трёх измерений. Причина часто в том, что единицу ответа выбирают по данным, не проверяя смысл вычисления. После умножения трёх длин в сантиметрах записывай см³.
Нельзя просто перемножить числа, если измерения выражены в разных единицах, например метрах и сантиметрах. Числовые значения тогда относятся к разным масштабам, и полученный результат будет неверным. До вычисления переведи все длины в одну единицу, а после проверь, что итоговая кубическая единица соответствует выбранной длине.
Формулу V = abc иногда принимают за формулу площади поверхности. Но произведение трёх измерений даёт объём, а площадь поверхности находят по площадям всех граней. Ошибка возникает из-за того, что обе формулы используют длину и ширину прямоугольных граней. Проверка проста: объём должен иметь кубические единицы, а площадь — квадратные.
Для вычислений нужны умение находить площадь прямоугольника и навыки умножения натуральных и дробных чисел. Площадь основания ab помогает понять, сколько единичных кубиков помещается в одном слое, а умножение на число слоёв приводит к объёму. Дробные числа позволяют работать с размерами, которые не выражаются целым числом единиц.
Идея единичного куба связывает геометрию с измерением величин: объём выражается через число выбранных кубических единиц. Сложение объёмов частей позволяет находить объём тела, разбитого на более простые части. Эти свойства лежат в основе вычислений не только для прямоугольного параллелепипеда.
Формула V = abc пригодится при изучении объёмов других многогранников: сложные тела можно разбивать на части, объёмы которых находить отдельно. Она также применяется в практических задачах о вместимости коробок, контейнеров и помещений. В таких задачах особенно важно согласовать единицы измерения и отличать объём от площади поверхности.
Почему для нахождения объёма нужно перемножать три измерения?
Длина и ширина показывают, сколько единичных кубиков помещается в одном слое. Высота показывает число таких слоёв. Поэтому общее число кубиков, а значит и объём, равен произведению трёх измерений.
Чем кубический сантиметр отличается от квадратного сантиметра?
Квадратный сантиметр — единица площади: это площадь квадрата со стороной 1 см. Кубический сантиметр — единица объёма: это объём куба с ребром 1 см. Площадь измеряют в см², а объём — в см³.
Можно ли использовать формулу V = abc, если измерения дробные?
Да, формула действует и при дробных измерениях. Её можно обосновать, разбив тело на меньшие части и сложив их объёмы. Главное — выражать длину, ширину и высоту в одинаковых единицах.
Что делать, если длина, ширина и высота заданы в разных единицах?
Перед вычислением нужно перевести все измерения в одну единицу длины. Например, метры можно перевести в сантиметры. Тогда ответ получится в соответствующих кубических единицах.
Как найти одно измерение, если известны объём и два других измерения?
Нужно разделить объём на произведение двух известных измерений. Например, если неизвестна высота, то c = V/(ab). Единицы измерений должны быть согласованы, а результат — иметь единицу длины.
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда
