1.2. Объем прямоугольного параллелепипеда

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — многогранник, все грани которого являются прямоугольниками. Его три измерения называют длиной, шириной и высотой и обычно обозначают a, b и c. Они соответствуют трём рёбрам, выходящим из одной вершины. Эти величины нужны, чтобы описать размеры тела и вычислить, сколько места оно занимает.

Единичный куб — куб, ребро которого принято за единицу длины. Его объём принимают за единицу объёма. Например, если за единицу длины выбран сантиметр, единичный куб имеет ребро 1 см, а его объём равен 1 см³. С помощью таких кубов удобно представлять и измерять объём других тел.

Объём тела — положительное число, показывающее, сколько единичных кубов укладывается в этом теле. Число зависит от того, какую единицу длины выбрали: одно и то же тело можно измерить в кубических сантиметрах или кубических метрах. При смене единицы числовое значение объёма изменится, хотя само тело останется прежним. Поэтому при записи ответа всегда указывают единицу измерения.

Объём прямоугольного параллелепипеда — произведение его длины, ширины и высоты. Если измерения обозначены a, b и c, то формула имеет вид V = abc. Она позволяет вычислить объём по трём размерам, а также найти один неизвестный размер, если объём и два других измерения известны. Все длины в формуле должны быть выражены в одинаковых единицах.

Как это устроено

Начнём со случая, когда рёбра имеют длину, равную натуральному числу единиц. Тогда параллелепипед можно заполнить единичными кубами без промежутков и наложений. В одном ряду помещается столько кубов, сколько единиц составляет длина, а рядов в слое — столько, сколько единиц составляет ширина. Поэтому число кубов в одном слое равно произведению этих двух измерений.

Если слоёв по высоте несколько, каждый из них содержит одинаковое число кубов. Значит, общее число кубов получают умножением числа кубов в одном слое на количество слоёв. Так возникает произведение трёх измерений: два первых считают кубы в слое, а третье — число слоёв. Это объясняет формулу для целых измерений не только вычислением, но и способом заполнения тела.

При дробных измерениях единичный куб не всегда укладывается в тело целое число раз, поэтому прямое подсчитывание кубов неудобно. Можно разделить единицу длины на более мелкие равные части и рассматривать кубики с таким ребром. Тогда каждое измерение выражается в новых единицах, а число кубиков по длине, ширине и высоте по-прежнему перемножается. Уменьшение единицы одновременно меняет все три числа измерений, поэтому объём масштабируется согласно произведению трёх длин; формула V = abc остаётся верной и для действительных значений.

Пусть длина параллелепипеда равна a, ширина — b, а высота — c. В каждом горизонтальном слое располагается a · b единичных кубов, если размеры заданы целым числом единиц. По высоте таких слоёв c, поэтому общее число кубов равно (a · b) · c. Следовательно, объём равен V = abc; рассуждение с разбиением на более мелкие части позволяет применять этот результат и к нецелым измерениям.

Единицы объёма тоже следуют из формулы. Если каждое измерение выражено в сантиметрах, при умножении получаем см · см · см, то есть кубические сантиметры, см³. Аналогично три измерения в метрах дают кубические метры, м³. Размерность помогает проверить запись: объём нельзя обозначать квадратными единицами, потому что в вычислении участвуют три длины.

Формула показывает, как размеры влияют на результат. Если длину увеличить, например, в k раз, а ширину и высоту оставить прежними, то V станет равно (ka)bc = kabc. Значит, объём также увеличится в k раз. Это удобно для оценки: удвоение одного ребра удваивает объём, а не прибавляет к нему какую-либо постоянную величину.

Измерения и объем прямоугольного параллелепипеда

Сначала определите длину, ширину и высоту и убедитесь, что они выражены в одной единице. Затем перемножьте их и запишите результат в соответствующей кубической единице. Строка об изменении измерения помогает быстро оценить, как изменится объём, если поменять только один размер.

Разбор задач

Объём по трём измерениям

Найти объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 3 см и 2 см. Перед вычислением нужно убедиться, что размеры заданы в одинаковых единицах: здесь все они указаны в сантиметрах. Значит, можно сразу применить формулу V = abc. Ответ следует записать в кубических сантиметрах.

1. Обозначим измерения: a = 4 см, b = 3 см, c = 2 см.
2. Подставим их в формулу: V = 4 · 3 · 2 = 24.
3. Запишем единицу объёма: 24 см³.

Ответ: 24 см³. Смысл вычисления можно проверить подсчётом: в слое 4 · 3 = 12 кубиков, а двух слоёв будет 12 · 2 = 24. Получилось то же значение, что и при умножении трёх измерений.

Найти неизвестную высоту

Объём параллелепипеда равен 120 см³, длина — 6 см, ширина — 5 см. Требуется найти высоту. Из формулы V = abc нужно выразить c, то есть оставить высоту одну в левой части равенства. Объём делим на произведение длины и ширины, поскольку они вместе задают число кубиков в одном слое.

1. Запишем формулу и выразим высоту: c = V / (a · b).
2. Подставим известные значения: c = 120 / (6 · 5) = 120 / 30 = 4.
3. Проверим единицы: см³ / (см · см) = см, поэтому c = 4 см.

Ответ: 4 см. Проверка подстановкой подтверждает результат: 6 · 5 · 4 = 120 см³. Если бы в ответе получились квадратные или кубические сантиметры, это указывало бы на ошибку в единицах неизвестного ребра.

Вместимость аквариума

Прямоугольный аквариум имеет размеры 40 см × 25 см × 30 см. Нужно определить, сколько литров воды он вместит при полном заполнении. Сначала найдём объём в кубических сантиметрах, потому что все измерения даны в сантиметрах. Затем переведём результат в литры, используя равенство 1 л = 1000 см³.

1. Перемножим размеры: V = 40 · 25 · 30 = 30 000 см³.
2. Переведём кубические сантиметры в литры: 30 000 / 1000 = 30 л.
3. Укажем, что полученное значение относится к полностью заполненному аквариуму.

Ответ: 30 л. Деление на 1000 нужно потому, что один литр занимает объём 1000 см³. В реальной ситуации полезная вместимость может быть меньше, если аквариум не заполняют до самого края, но по условию он заполнен полностью.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать длину, ширину и высоту вместо того, чтобы перемножать их. Так поступают, когда переносят на объём правило нахождения периметра или просто забывают, что считают кубики по трём направлениям. Проверьте рассуждение по слоям: сначала определите число кубов в слое, затем умножьте на число слоёв. Размерность произведения длин тоже подсказывает, что нужна операция умножения.

Ошибка: записать результат в квадратных единицах, например в см². Квадратные единицы относятся к площади, где перемножают две длины, а для объёма перемножают три. Проверьте, сколько раз встречается единица длины в вычислении: см · см · см = см³. Если в ответе появилась квадратная единица, значит, она не соответствует найденной величине.

Ошибка: подставлять размеры, записанные в разных единицах, например сантиметры и метры. Числа в таком произведении относятся к неодинаковым единицам, поэтому результат нельзя правильно выразить одной кубической единицей без пересчёта. До вычисления переведите все длины в сантиметры или все в метры. После этого оцените, разумен ли порядок величины ответа.

Ошибка: при поиске неизвестного ребра делить объём только на одно из известных измерений. Неизвестное ребро находится из V = abc делением на произведение двух остальных: например, c = V / (a · b). Вспомните, что два известных ребра образуют площадь слоя, а объём делится на эту площадь. Проверьте результат обратной подстановкой: произведение трёх рёбер должно совпасть с исходным объёмом.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма нужно знать, что такое прямоугольный параллелепипед и какие его рёбра называют измерениями. Также пригодятся правила умножения величин и перевод единиц длины. Понимание кубических единиц помогает переводить объёмы, например из см³ в м³ или литры. Формула используется и для тел, которые можно составить из нескольких прямоугольных параллелепипедов: их разбивают на части и находят объём каждой. В практических задачах тот же расчёт помогает определить вместимость коробки, помещения или аквариума.

Что запомнить

• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
• Формула: V = abc.
• Объём выражают в кубических единицах.
• Единичный куб задаёт единицу измерения объёма.
• Перед вычислением измерения должны быть выражены в одинаковых единицах.
• Если одно измерение увеличить в k раз, а остальные оставить прежними, объём увеличится в k раз.