"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Прямоугольный параллелепипед — тело, все грани которого являются прямоугольниками. Чтобы определить, сколько места оно занимает, находят его объём: достаточно перемножить длину, ширину и высоту. Формула V = abc связана с подсчётом единичных кубов, из которых можно мысленно составить тело. Перед вычислением три измерения приводят к одной единице, а ответ записывают в кубических единицах, например в см³ или м³.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный параллелепипед — тело, все грани которого являются прямоугольниками. Три его измерения называют длиной, шириной и высотой и обозначают, например, буквами a, b и c. Выбор названий зависит от положения тела, но для вычисления важны именно три размера. Это определение помогает отличить такой параллелепипед от других тел и понять, какие величины понадобятся.
Объём тела характеризует часть пространства, которую оно занимает. Например, коробка большего объёма может вместить больше предметов, если их форма позволяет разместить внутри коробки. Объём нужен, чтобы сравнивать вместимость, рассчитывать количество материала или решать задачи об упаковке. Он относится к телу целиком, а не к одной из его граней.
Единичный куб — куб с ребром, равным одной выбранной единице длины. Его объём принимают за единицу объёма, потому что такой куб удобно использовать как мерку: можно считать, сколько подобных кубиков помещается в теле. Если единицу длины изменить, изменится и размер куба-мерки. Поэтому при записи результата необходимо указывать, какая единица объёма выбрана.
Единица объёма связана с единицей длины: это объём куба, ребро которого равно одной такой единице. Так, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³, то есть один кубический сантиметр. Показатель 3 напоминает, что при расчёте участвуют три измерения длины. Такая запись позволяет не спутать объём с площадью, которая выражается в квадратных единицах.
Чтобы измерить объём, мысленно заполняют тело одинаковыми единичными кубами и считают их количество. Кубы должны подходить друг к другу без промежутков и не накладываться один на другой, иначе подсчёт не будет точным. Их размер задаёт выбранная единица объёма. Чем меньше куб-мерка, тем больше таких кубов понадобится для заполнения того же тела.
Если измерения a, b и c — целые числа единичных отрезков, основание можно заполнить b · c кубами. Над основанием размещается ещё столько же кубов в каждом следующем слое. По измерению a помещается a таких слоёв, поэтому общее число кубов равно a · (b · c) = a · b · c. Так произведение трёх размеров получается из подсчёта кубиков, а не вводится случайно.
Измерения тела не всегда выражаются целым числом выбранных отрезков. Можно взять более мелкую единицу и разделить каждый размер на большее число равных частей, чтобы удобнее считать кубики. Объём при этом не меняется: меняется только размер мерки и число кубов, которыми измеряют тело. Поскольку число кубиков по трём направлениям связано с произведением измерений, эта зависимость сохраняется для дробных и произвольных размеров.
Следовательно, объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты: V = abc. Действительно, площадь прямоугольного основания равна произведению двух его сторон, а число слоёв определяется третьим измерением. Умножение площади основания на высоту даёт тот же результат, что подсчёт кубов по всем трём направлениям. Формула работает при условии, что все измерения выражены в согласованных единицах.
Единицы выбирают по условию задачи и удобству вычислений: например, размеры небольшой коробки можно выразить в сантиметрах, а комнаты — в метрах. Если все три измерения заданы в сантиметрах, произведение даст объём в кубических сантиметрах, потому что см · см · см = см³. Перед расчётом величины в разных единицах нужно привести к одной единице длины. Так результат сразу получает правильную единицу объёма.
| Что известно | Обозначения | Формула объёма | Единицы объёма |
|---|---|---|---|
| Три измерения: длина, ширина и высота | a, b, c | V = abc | мм³, см³, дм³, м³ |
| Связь единиц объёма | 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 дм³ | Кубические единицы | |
В первой строке найдите три измерения тела и подставьте их вместо a, b и c в формулу V = abc. Единицу объёма выбирайте по единице длины: например, сантиметры дают кубические сантиметры. Во второй строке приведены соотношения, которые помогают переводить уже вычисленный объём.
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 5 см. Все размеры уже заданы в одинаковых единицах, поэтому переводить их не требуется. Обозначим их по порядку буквами a, b и c.
Ответ: 60 см³. Кубические сантиметры выбраны потому, что каждое из трёх измерений задано в сантиметрах.
Длина, ширина и высота коробки равны 2,5 дм, 40 см и 0,3 м. Найдите её объём в кубических дециметрах. Сначала нужно привести размеры к дециметрам, поскольку именно в этих единицах требуется ответ. Один дециметр равен 10 сантиметрам, а один метр — 10 дециметрам.
Ответ: 30 дм³. Проверка единиц показывает, что перемножены три величины в дециметрах, поэтому результат выражен в кубических дециметрах.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен 240 см³, два его измерения равны 8 см и 5 см. Найдите третье измерение. Чтобы найти неизвестную величину, нужно из формулы объёма выразить её через известные данные. Обозначим неизвестное измерение буквой c.
Ответ: 6 см. Единица — сантиметр, потому что объём задан в см³, а два известных размера — в сантиметрах.
Перемножают только два измерения. Так находят площадь грани, а не объём: не учитывается размер тела в третьем направлении. Ошибку легко допустить, если принять площадь основания за объём. Проверьте, что в произведении три множителя и каждый соответствует отдельному измерению.
Подставляют размеры в разных единицах. Например, нельзя без перевода перемножать сантиметры и метры и считать результат выраженным в выбранной кубической единице. Обычно так происходит, когда единицы в условии перечислены вразнобой. Перед вычислением подпишите единицы у каждого размера и приведите все к одной.
Записывают ответ в квадратных единицах. Квадратная единица относится к площади, потому что в ней перемножаются два размера; для объёма перемножаются три. Путаница возникает, если при вычислении смотрят только на числовой результат. Проверьте размерность: см · см · см = см³, значит, ответ должен быть кубическим.
Неверно переводят кубические единицы. При переходе между соседними единицами объёма, например из см³ в дм³, коэффициент равен 1000, а не 10 или 100. Это связано с тем, что меняются три измерения: 10 · 10 · 10 = 1000. Для проверки возведите коэффициент перевода единиц длины в третью степень.
Для применения формулы нужно уметь находить площадь прямоугольника и перемножать величины. Идея единичного куба связывает измерение объёма с выбором единицы, как при измерении длины и площади. Формула объёма станет опорой при изучении объёмов других тел, если их можно представить или разделить на более простые части. Она также пригодится в задачах о вместимости коробок, размещении предметов и упаковке.
Почему для нахождения объёма нужно перемножить именно три измерения?
Два измерения задают площадь основания, а третье показывает, сколько таких слоёв помещается по высоте. Поэтому объём равен площади основания, умноженной на высоту: V = abc.
Чем объём отличается от площади поверхности?
Объём показывает, сколько пространства занимает тело, а площадь поверхности — какова площадь всех его граней вместе. Объём измеряется в кубических единицах, площадь — в квадратных.
В каких единицах записывают объём прямоугольного параллелепипеда?
В кубических единицах: мм³, см³, дм³, м³ и других. Если измерения заданы в сантиметрах, объём получится в см³.
Нужно ли переводить все измерения в одну единицу перед вычислением?
Да. Иначе перемножаются величины, выраженные в разных единицах, и результат нельзя правильно истолковать. Сначала переведите длину, ширину и высоту в одну единицу.
Как найти неизвестное измерение, если известны объём и два других измерения?
Разделите объём на произведение известных измерений. Например, если неизвестна высота, то c = V ÷ (a · b); единицу ответа проверьте по единицам исходных величин.
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда
