1.1. Понятие объема

Определения и обозначения

Объём — численная характеристика тела, показывающая, сколько места оно занимает. Он описывает величину тела, а не его очертания: форму можно изменить, не обязательно изменив объём. Объём обозначают, например, буквой V, и используют, чтобы сравнивать тела по занимаемому месту.

Единичный куб — куб, ребро которого равно единице длины. Его объём принимают за одну единицу объёма, поэтому с ним удобно сравнивать другие тела. Если ребро куба равно 1 см, это куб объёмом 1 см³.

Единица объёма — объём единичного куба, построенного на выбранной единице длины. Поэтому из сантиметра получают кубический сантиметр (см³), а из метра — кубический метр (м³). Эта связь помогает правильно записывать результат измерения и переводить объёмы из одних единиц в другие.

Как это устроено

Объём позволяет сравнить тела по вместимости: какое из них занимает больше места или сколько пространства вмещает. Равные по объёму тела могут быть устроены по-разному, например одно — длинное и узкое, другое — короткое и широкое. Поэтому внешний вид сам по себе не позволяет определить объём: нужны измерения или сравнение с единичными кубами.

У куба с ребром, равным нескольким единицам, объём можно найти подсчётом единичных кубов. Сначала считают их в одном слое: если на каждой стороне слоя помещается по n кубов, то в нём n · n кубов. Затем число кубов в слое умножают на число слоёв n, получая n³; третья степень появляется из-за трёх измерений.

Прямоугольный параллелепипед можно заполнить одинаковыми единичными кубами. Если его длина и ширина равны a и b единицам, то в одном слое окажется a · b кубов, а при высоте c таких слоёв будет c. Значит, всего поместится a · b · c кубов, поэтому объём равен произведению трёх измерений: V = a · b · c.

Кубические единицы меняются вместе с единицами длины сразу в трёх направлениях. Например, 1 м = 100 см, а в кубе объёмом 1 м³ каждое измерение содержит по 100 сантиметров. Поэтому 1 м³ = 100 · 100 · 100 см³ = 100³ см³, а не 100 см³.

Для объёма выполняются свойства, которые делают вычисления удобнее. Равные тела имеют равные объёмы, поэтому совпадающие по размеру и форме тела занимают одинаковое место. Если тело разрезать на части без общих внутренних точек, его объём равен сумме объёмов частей: внутреннее перекрытие недопустимо, иначе некоторые участки будут учтены дважды.

Основные сведения об объёме

Таблица помогает быстро выбрать нужное правило: сначала определите, измеряете ли вы единичный куб, параллелепипед или составное тело. Затем проверьте, в каких единицах даны измерения и в каких требуется ответ. При переводе кубических единиц возводите коэффициент перевода длины в третью степень.

Разбор задач

Задача 1. Сколько единичных кубов помещается в кубе с ребром 3 единицы? Нужно выяснить, сколько кубиков приходится на один слой и сколько таких слоёв составляют весь куб. Единичный куб занимает объём 1, поэтому число кубиков сразу показывает объём большого куба.

1. На каждом ребре основания помещается по 3 кубика, значит, в одном слое их 3 · 3 = 9.
2. По высоте куба расположено 3 слоя.
3. Всего кубиков 9 · 3 = 27; это также 3³.

Ответ: 27 единичных кубов.

Задача 2. Найдём объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 3 см и 5 см. Представим основание как слой единичных кубиков: его можно заполнить 4 · 3 кубиками со стороной 1 см. Высота 5 см означает, что таких слоёв пять, поэтому используем произведение всех трёх измерений.

1. Запишем формулу: V = a · b · c.
2. Подставим измерения: V = 4 · 3 · 5 = 60.
3. Поскольку каждое измерение дано в сантиметрах, единица объёма — см³.

Ответ: 60 см³.

Задача 3. Объём тела равен 2,4 м³. Выразим его в см³. В каждом из трёх измерений метр содержит 100 сантиметров, поэтому для перехода к кубическим сантиметрам множитель 100 нужно применить три раза. Удобно сначала перевести 1 м³, а затем умножить результат на 2,4.

1. Переведём единицу: 1 м³ = 100³ см³ = 1 000 000 см³.
2. Умножим на 2,4: 2,4 · 1 000 000 = 2 400 000.
3. Запишем ответ в требуемой единице объёма.

Ответ: 2 400 000 см³.

Типичные ошибки

Объём иногда принимают за площадь или длину, потому что все три величины связаны с размерами. Но длина описывает одно измерение, площадь — два, а объём — пространство в трёх измерениях. Проверка: если речь идёт о теле и занимаемом им месте, результат должен иметь кубическую единицу.

Запись объёма в квадратных единицах — ещё одна распространённая ошибка. Квадратные единицы подходят для площади, и их выбирают, когда измеряют две стороны поверхности. Для объёма нужны три измерения, поэтому ответ, например, записывают в см³, а не в см².

При переводе м³ в см³ можно ошибочно умножить на 100, перенеся правило перевода длины на объём. Ошибку допускают, если забывают, что куб состоит из трёх измерений: множитель равен 100³ = 1 000 000. Для самопроверки запишите перевод каждой стороны отдельно и перемножьте коэффициенты.

Нельзя складывать объёмы частей, если они перекрываются внутренними областями. При обычном сложении объём общей области учтётся дважды, хотя в исходном теле она одна. Проверьте, что части действительно составляют разбиение без перекрытия; только тогда объём целого равен сумме объёмов частей.

Связь с другими темами

Для изучения объёма нужны понятия длины и площади, а также знакомство с кубом и прямоугольным параллелепипедом. Полезно уметь переводить единицы длины и различать линейные, квадратные и кубические единицы: это помогает выбрать правильную размерность ответа. Знание объёма и его свойств станет основой для вычисления объёмов призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. В дальнейшем знакомые правила будут сочетаться с формулами для этих тел.

Что запомнить

• Объём характеризует величину тела, а не его форму.
• За единицу объёма принимают объём единичного куба.
• Объём измеряется в кубических единицах.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений.
• Объёмы неперекрывающихся частей складываются.
• При переводе кубических единиц коэффициент перевода длины возводят в третью степень.