65. Понятие объема

Определения и обозначения

Объём тела — величина, которая характеризует, сколько места тело занимает в пространстве. Сравнивая объёмы, можно определить, какое из двух тел занимает больше места, а какое — меньше. Объём нужен, чтобы описывать тела количественно, а не только по форме или размеру отдельных сторон.

Единица объёма — объём куба, ребро которого равно единице длины. Чтобы измерить объём тела, его сравнивают с таким кубом: выясняют, сколько единичных кубов соответствует телу. Выбор единицы объёма зависит от того, какую единицу длины приняли за основную.

Кубическая единица — единица измерения объёма, например 1 см³ или 1 м³. Один кубический сантиметр равен объёму куба с ребром 1 см, а один кубический метр — объёму куба с ребром 1 м. Обозначение «кубическая» напоминает о трёх измерениях пространства и отличает единицу объёма от квадратной единицы площади.

Как это устроено

Для измерения объёма выбирают единичный куб, потому что кубики одинакового размера можно сопоставлять между собой и использовать как меру пространства. Если тело удаётся заполнить такими кубиками без промежутков и наложений, число кубиков показывает его объём в выбранных единицах. Например, двенадцать кубиков объёмом 1 см³ занимают в сумме 12 см³. Если точного заполнения кубиками не получается, само понятие объёма всё равно задаёт меру занимаемого телом пространства.

Единица объёма связана с единицей длины через ребро единичного куба. Когда длину измеряют в сантиметрах, единичный куб имеет ребро 1 см, и его объём называют 1 см³. Если длину измеряют в метрах, соответствующая кубическая единица — 1 м³. Такая связь объясняет, почему при смене единицы длины нужно менять и обозначение единицы объёма, а не записывать объём в сантиметрах или метрах без степени.

Равные тела имеют равные объёмы, потому что равенство тел означает совпадение их формы и размеров: одно тело можно совместить с другим перемещением. При перемещении не возникает и не исчезает часть пространства, занятая телом. Поэтому результат измерения не должен зависеть от того, лежит тело или стоит, и от того, с какой стороны его начали рассматривать. Если бы положение меняло объём, одно и то же тело получало бы разные измерения, что противоречило бы смыслу объёма.

Объём составного тела равен сумме объёмов его неперекрывающихся частей. Причина проста: каждая точка пространства, занятого целым телом, принадлежит одной из частей, а общие области у частей отсутствуют. Поэтому при сложении объёмов ничего не учитывается дважды и ничего не пропускается. Если же части перекрываются, их общая область попадёт в сумму повторно, и простое сложение даст неверный результат.

Сложное тело часто трудно измерить как единое целое, но его можно разделить на более простые части, объёмы которых легче определить. Затем используют свойство сложения и складывают объёмы частей, следя, чтобы они не перекрывались и вместе составляли исходное тело. Разбиение не меняет объём: оно лишь помогает рассмотреть тело по частям. Так свойства объёма превращают измерение сложной формы в несколько понятных действий.

Основные свойства объёма и единицы измерения

В таблице собраны правила, которые помогают выбрать единицу измерения и рассуждать о составных телах. При решении задачи сначала проверь, что единицы объёма одинаковы, а части не перекрываются. Затем примени подходящее свойство и запиши результат в кубических единицах.

Разбор задач

Задача 1. Сколько кубиков объёмом 1 см³ составляют тело, если его можно без промежутков и наложений заполнить 12 такими кубиками? Здесь каждый кубик служит одной единицей измерения объёма. Так как заполнение полное и кубики не перекрываются, их объёмы можно сложить.

1. Определяем объём одного кубика: он равен 1 см³.
2. Складываем объёмы двенадцати кубиков: 12 · 1 см³ = 12 см³.
3. Записываем результат в кубических сантиметрах, поскольку именно в них задан объём кубика.

Ответ: тело имеет объём 12 см³ и состоит из 12 кубиков объёмом 1 см³.

Задача 2. Тело составлено из двух неперекрывающихся частей объёмами 8 см³ и 5 см³. Чтобы найти объём целого, используем свойство сложения объёмов: части не перекрываются, значит, общих областей, которые пришлось бы учитывать отдельно, нет. Сначала складываем числовые значения, сохраняя одинаковую единицу измерения.

1. Записываем объёмы частей: 8 см³ и 5 см³.
2. Находим их сумму: 8 + 5 = 13.
3. Указываем кубическую единицу: объём целого равен 13 см³.

Ответ: 13 см³.

Задача 3. Тело разрезали на три части объёмами 6 см³, 9 см³ и 4 см³, а затем из этих частей сложили другое тело. Нужно сравнить объёмы исходного и полученного тел. Разрезание лишь разделяет пространство исходного тела на части, а при новом расположении частей их объёмы сохраняются.

1. Находим объём исходного тела как сумму частей: 6 + 9 + 4 = 19 см³.
2. При сборке другого тела те же части только перемещают; их объёмы не меняются.
3. Складываем объёмы частей нового тела: 6 + 9 + 4 = 19 см³.
4. Сравниваем результаты: оба тела имеют одинаковый объём.

Ответ: объём исходного и полученного тел равен 19 см³.

Типичные ошибки

Объём иногда путают с площадью поверхности: кажется, что оба понятия описывают «размер» тела. Но площадь характеризует оболочку, а объём — пространство, занимаемое телом. Проверь себя: если речь идёт о том, сколько места занимает тело, ответ выражают кубическими, а не квадратными единицами.

Запись объёма в см² — ошибка, потому что квадратные единицы относятся к площади. Её допускают, когда забывают, что объём учитывает три измерения, и переносят обозначение из задач на площадь. Проверь единицу: для объёма нужны см³, м³ или другие кубические единицы, а для площади — см², м².

Можно ошибочно считать, что объём зависит от положения тела, например от того, стоит оно или лежит. В действительности перемещение меняет положение тела, но не его форму и размеры, поэтому объём остаётся прежним. Чтобы проверить себя, представь, что тело просто повернули: оно не стало занимать больше или меньше пространства.

Ещё одна ошибка — складывать объёмы частей, которые перекрываются, как будто они занимают разные области. Так общая часть учитывается несколько раз, поэтому сумма получается больше объёма целого. Перед сложением проверь, что части не имеют общей области; если перекрытие есть, его объём нельзя оставлять в сумме повторно.

Связь с другими темами

Для работы с объёмом нужно знать единицы длины и понимать, что такое куб и его ребро: именно ребро определяет единицу объёма. Знакомство с площадью тоже помогает не спутать квадратные и кубические единицы, хотя площадь и объём характеризуют разные свойства. Понятие объёма и его основные свойства станут основой для изучения формул объёмов многогранников и тел вращения. В дальнейшем сложные тела можно будет измерять с помощью таких формул или разбиением на части.

Что запомнить

• Объём характеризует, сколько места занимает тело.
• Объём единичного куба принимают за единицу объёма.
• Единицы объёма — кубические: см³, дм³, м³ и другие.
• Равные тела имеют равные объёмы.
• Объём тела равен сумме объёмов его неперекрывающихся частей.
• Перемещение тела не меняет его объём.