"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Объём показывает, какую часть пространства занимает многогранник, и помогает сравнивать тела и рассчитывать вместимость. Его измеряют кубическими единицами: объём куба с ребром 1 см равен 1 см³. Для прямоугольного параллелепипеда перемножают три измерения, для призмы — площадь основания и высоту, а для пирамиды дополнительно берут треть этого произведения. Составные тела удобно разбивать на части или рассматривать как разность тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём многогранника — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую этим телом. Равные многогранники имеют одинаковые объёмы, а объём тела, составленного из частей без наложений, равен сумме объёмов частей. Это позволяет сравнивать тела и находить объём сложной фигуры через объёмы более простых.
Единица объёма — объём куба, ребро которого равно единице длины. Если длину измеряют в сантиметрах, таким кубом будет куб с ребром 1 см, а его объём обозначают 1 см³. При переходе от единицы длины к единице объёма её возводят в куб: например, 1 м³ — это объём куба с ребром 1 м.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: V = abc. Эти измерения — длина, ширина и высота тела; в формуле можно перемножить их в любом порядке. Формула связана с подсчётом единичных кубов: их число в одном слое умножают на число слоёв.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Здесь Sосн — площадь многоугольника в основании, а h — перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания. Площадь основания и высоту подставляют в согласованных единицах, чтобы получить объём в кубических единицах.
Объём подчиняется свойству аддитивности: если многогранник разрезать на части, которые не накладываются и полностью его заполняют, общий объём останется равен сумме объёмов частей. Причина в том, что при разрезании пространство внутри тела не исчезает и не появляется, а лишь разделяется. Поэтому сложную форму можно заменить несколькими простыми, для которых известны формулы. Если же часть тела удалили, её объём вычитают из объёма исходного тела.
Формулу прямоугольного параллелепипеда можно понять через единичные кубы. В одном слое помещается столько кубиков, сколько соответствует площади основания, а одинаковых слоёв по высоте столько, сколько единиц содержит высота. Перемножение числа кубиков в слое и числа слоёв даёт V = abc. Для наклонного параллелепипеда используется тот же принцип объёма: при одинаковых площади основания и высоте он имеет такой же объём, как прямой. Наклон боковых рёбер меняет форму, но не перпендикулярную высоту и не объём.
У призмы сечения плоскостями, параллельными основанию, равны основанию по площади. Значит, на любой высоте тело сохраняет одинаковую площадь поперечного сечения. Можно представить призму как стопку одинаковых тонких слоёв: их суммарный объём равен площади одного слоя, умноженной на высоту всей стопки. Отсюда получается формула V = Sоснh, которая работает и для наклонной призмы.
Пирамида с теми же площадью основания и высотой занимает треть объёма призмы с такими параметрами. Это соотношение объясняется разбиением призмы на три пирамиды с равными основаниями и высотами: вместе они составляют призму. Поэтому в формуле пирамиды появляется множитель ⅓. Формулу можно применять к любой пирамиде, но площадь основания и перпендикулярную высоту нужно определить именно для неё.
Составное тело удобно сначала разложить на части, для которых известны формулы, например на призмы и пирамиды. Затем находят объём каждой части и складывают результаты, не допуская двойного учёта перекрывающихся областей. Если фигура получена вырезанием, проще вычислить объём целого тела и вычесть объём вырезанной части. В обоих случаях перед вычислениями проверяют, что длины выражены в одних единицах.
| Многогранник | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | Sосн = ab | c — третье измерение | V = abc |
| Призма | Sосн | Перпендикулярное расстояние между основаниями, h | V = Sоснh |
| Пирамида | Sосн | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания, h | V = ⅓Sоснh |
Сначала определите вид тела, затем найдите площадь его основания и нужную высоту. Для прямоугольного параллелепипеда можно сразу перемножить три измерения. В ответе обязательно указывайте кубические единицы.
Задача 1. Найти объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 5 см. Поскольку даны три измерения, подходит формула V = abc. Перемножаем длины и записываем результат в кубических сантиметрах: единицы длины также перемножаются трижды.
Ответ: 60 см³.
Задача 2. Основание призмы имеет площадь 18 см², высота призмы равна 7 см. Найти её объём. Для призмы достаточно площади основания и перпендикулярного расстояния между основаниями. Если призма наклонная, данная высота не должна подменяться длиной бокового ребра.
Ответ: 126 см³.
Задача 3. Пирамида имеет квадратное основание со стороной 6 см и высоту 10 см. Найти объём тела из двух таких пирамид, соединённых основаниями. Сначала находим площадь квадрата и объём одной пирамиды, затем удваиваем его: две пирамиды образуют составное тело, и их объёмы складываются.
Ответ: 240 см³.
В формулу пирамиды иногда подставляют площадь боковой грани вместо площади основания. Это происходит, когда все многоугольные грани считают одинаково подходящими для формулы. Проверь себя: Sосн должна относиться именно к грани, от которой проведена высота, а не к наклонной боковой грани.
Боковое ребро или наклонное расстояние могут принять за высоту, потому что на рисунке они выглядят как отрезки от вершины к основанию. Но высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а высота призмы — это расстояние между плоскостями её оснований. Проверь наличие прямого угла; в наклонном теле длина бокового ребра обычно не равна высоте.
При вычислении объёма пирамиды иногда забывают множитель ⅓, перенося на неё формулу призмы. Причина — сходство формул и использование одинаковых Sосн и h. Перед подстановкой выпиши формулу целиком: для пирамиды в ней обязательно есть деление произведения Sоснh на три.
Ещё одна ошибка — записать ответ в квадратных единицах или перемножить длины, выраженные в разных системах. Квадратные единицы подходят площади, а объём имеет три измерения и записывается, например, в см³. Проверь единицы в условии и сначала переведи все длины в одну систему, а затем возведи единицу в куб.
Для вычислений нужны формулы площадей многоугольников: без площади основания нельзя найти объём призмы или пирамиды. Также важно знать свойства этих тел и отличать высоту от бокового ребра. Формулы объёмов применяют в задачах на составные тела и вместимость, а позднее они помогают изучать объёмы тел вращения. При решении практических задач результат связывают с единицами измерения и реальным содержанием величины.
Почему объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы с таким же основанием и высотой?
Три пирамиды с равными основаниями и высотами при подходящем разбиении составляют призму с таким же основанием и высотой. Поэтому объём одной пирамиды равен трети объёма такой призмы: V = ⅓Sоснh.
Какая высота используется в формуле объёма призмы?
Используют перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы оно совпадает с боковым ребром, а у наклонной призмы — обычно нет.
Как найти объём наклонной призмы?
Нужно умножить площадь основания на высоту: V = Sоснh. Высота здесь — перпендикулярное расстояние между основаниями, а не длина наклонного бокового ребра.
Можно ли найти объём составного многогранника, сложив объёмы его частей?
Да, если тело разбито на части, которые не накладываются друг на друга и вместе полностью его составляют. Тогда объём тела равен сумме объёмов частей; если из тела вырезана часть, её объём вычитают.
В каких единицах записывают объём?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³ или м³. Все длины перед вычислением следует выразить в одной системе единиц.
§ 7. Объемы многогранников
