"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём показывает, какую часть пространства занимает многогранник. Его измеряют в кубических единицах, сравнивая тело с кубом, ребро которого принято за единицу. Для параллелепипеда и призмы объём находят умножением площади основания на высоту, а для пирамиды берут треть этого произведения. Эти правила помогают вычислять объёмы отдельных тел и составных фигур, если правильно выбрать основание и перпендикулярную высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём многогранника — величина, которая характеризует занимаемую им часть пространства. Проще говоря, объём показывает, сколько места занимает тело. Он нужен, чтобы сравнивать тела по вместимости и решать задачи о заполнении пространства.
Единичный куб — куб с ребром 1, объём которого принимают за единицу объёма. Если ребро измерено в сантиметрах, единичный куб имеет объём 1 см³. Сравнение тела с такими кубами объясняет, почему объём измеряют в кубических единицах.
Объём призмы — величина, вычисляемая как произведение площади основания на высоту призмы: V = Sосн · h. Здесь Sосн — площадь многоугольника в основании, а h — расстояние между плоскостями оснований. Формула позволяет находить объём призмы любой формы, если известны эти две величины.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓ · Sосн · h. Высота здесь перпендикулярна плоскости основания. Коэффициент ⅓ отличает формулу пирамиды от формулы призмы и параллелепипеда.
Чтобы измерить объём, тело сравнивают с кубом, выбранным за единицу. Если тело составлено из целого числа таких кубов, достаточно их пересчитать; для более сложных тел измерение продолжают с помощью меньших долей единицы. Так появляются кубические сантиметры и кубические метры: единицу длины откладывают по трём измерениям, поэтому объёмная единица является кубом длины.
Равные многогранники занимают одинаковое количество места, поэтому их объёмы равны. Это свойство позволяет не зависеть от расположения тела в пространстве. Если фигуру разрезать на части без промежутков и наложений, общий объём равен сумме объёмов частей: каждый участок пространства учитывается ровно один раз.
У прямоугольного параллелепипеда с длиной a, шириной b и высотой c помещается ab единичных кубиков в одном слое и c таких слоёв. Поэтому V = abc. Поскольку площадь прямоугольного основания равна ab, эту формулу можно записать как V = Sосн · h. Для произвольного параллелепипеда действует тот же принцип: одинаковые параллельные сечения заполняют тело от основания до верхней грани, а число слоёв определяется перпендикулярной высотой.
У призмы каждое сечение, параллельное основанию, равно ему по площади. Значит, при продвижении от нижнего основания к верхнему тело не становится ни шире, ни уже. По этой причине призму можно рассматривать как набор одинаковых слоёв, и её объём получается умножением площади одного слоя на высоту: V = Sосн · h.
Пирамида с теми же площадью основания и высотой занимает треть объёма призмы. Это соотношение сохраняется для любой формы основания: при уменьшении сечения к вершине площади слоёв убывают, и их суммарный объём оказывается втрое меньше объёма призмы. В формулу входит именно высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания; боковое ребро может быть наклонено и иметь другую длину.
| Многогранник | Площадь основания | Высота | Объём |
|---|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | Sосн = ab | h = c | V = abc = Sосн · h |
| Параллелепипед | Sосн | h — расстояние между основаниями | V = Sосн · h |
| Призма | Sосн | h — расстояние между основаниями | V = Sосн · h |
| Пирамида | Sосн | h — перпендикуляр от вершины к основанию | V = ⅓ · Sосн · h |
Сначала определите вид многогранника и найдите площадь его основания. Затем выберите перпендикулярную высоту и подставьте данные в подходящую формулу. Проверьте, что единицы площади и длины согласованы: их произведение должно дать кубические единицы.
Задача. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 5 см. Все три измерения задают взаимно перпендикулярные рёбра, поэтому одно из них можно принять за высоту. Удобнее умножить длину, ширину и высоту напрямую.
Ответ: 60 см³.
Задача. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, высота призмы равна 10 см. Чтобы применить формулу объёма, сначала найдём площадь треугольника. Катеты перпендикулярны, поэтому площадь основания равна половине их произведения.
Ответ: 240 см³.
Задача. Площадь основания пирамиды равна 48 см², высота — 9 см. Боковое ребро наклонено к основанию; нужно найти объём и пояснить, какая высота подходит для вычисления. Поскольку речь идёт о высоте пирамиды, используют перпендикуляр к плоскости основания.
Ответ: 144 см³; используется перпендикулярная высота пирамиды.
Подмена высоты боковым ребром или наклонной высотой меняет результат, потому что в формуле нужна длина перпендикуляра к плоскости основания. Так ошибаются, когда принимают любое ребро, идущее вверх, за высоту. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол с плоскостью основания; если нет, это не высота.
В формуле пирамиды иногда забывают множитель ⅓ и применяют правило для призмы. Причина — у обоих тел перемножаются площадь основания и высота, но пирамида занимает только треть соответствующей призмы. Перед вычислениями определите вид тела и запишите формулу полностью.
Подстановка периметра основания вместо его площади даёт неверный результат: периметр измеряется в единицах длины, а площадь — в квадратных единицах. Ошибка возникает, когда основание считают просто по его контуру. Проверьте единицы в вычислении: после умножения на высоту должны получиться кубические, а не квадратные единицы.
Объём нельзя записывать в квадратных единицах, а длины, заданные в разных единицах, нельзя бездумно подставлять вместе. Такие ошибки появляются при невнимательной записи результата или пропуске перевода единиц. До вычислений приведите длины к одной системе, а в конце убедитесь, что ответ имеет размерность куба.
Для вычисления объёма призмы или пирамиды сначала нужно уметь находить площади многоугольников: например, площадь треугольника в основании призмы. Также необходимо распознавать высоту как перпендикуляр к плоскости основания, а не как произвольное наклонное ребро. Эти навыки связывают планиметрию с задачами о телах в пространстве.
Формулы объёмов многогранников пригодятся при изучении тел вращения и при решении задач на составные тела. Составную фигуру можно разбить на простые части, вычислить объём каждой и сложить результаты; если внутри есть вырез, соответствующий объём вычитают. Поэтому умение выбирать основание и высоту помогает и в более сложных пространственных задачах.
Почему объём измеряется в кубических единицах?
Единицей объёма служит куб с ребром 1 единица длины. Его объём равен 1 × 1 × 1, то есть одной кубической единице. Например, если длины измеряют в сантиметрах, объём записывают в см³.
Можно ли выбрать любое основание призмы для вычисления её объёма?
Да. Основанием призмы можно считать любую пару её параллельных равных граней. Если выбрать другую пару, изменятся площадь основания и соответствующая высота, но их произведение останется тем же объёмом.
Чем высота пирамиды отличается от её бокового ребра?
Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания и обычно наклонено к этой плоскости. Поэтому длину ребра нельзя подставлять вместо высоты.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется множитель одна треть?
Пирамида с заданными площадью основания и высотой занимает треть объёма призмы с такими же основанием и высотой. Поэтому произведение площади основания на высоту для пирамиды делят на 3. Это соотношение справедливо для пирамид с любым многоугольником в основании.
Как найти объём многогранника, который можно разделить на несколько простых тел?
Разделите тело на простые многогранники, объёмы которых можно вычислить по известным формулам. Найдите объём каждой части и сложите результаты. Если из тела вырезана часть, её объём нужно вычесть.
5. Объёмы многогранников
