"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Объём показывает, сколько места занимает пространственная фигура. Чтобы его измерить, выбирают единицу — обычно объём куба с известным ребром — и определяют, сколько таких кубов помещается внутри фигуры. Поэтому значение объёма зависит от выбранной единицы, а измеряют его в кубических единицах. Объёмы равных фигур совпадают, а объём составного тела можно найти сложением объёмов его неперекрывающихся частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём — числовая характеристика пространственной фигуры, показывающая, сколько места она занимает. Например, объём помогает сравнить, сколько пространства занимают два ящика. Это понятие нужно, чтобы измерять тела и выполнять вычисления с ними.
Единица объёма — объём, принятый за единицу измерения; обычно это объём единичного куба. Сначала выбирают такой куб, а затем определяют, сколько таких объёмов содержится в фигуре. Благодаря этому результат можно записать числом и обозначением единицы.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см; его обозначают см³. Эта единица подходит для измерения сравнительно небольших тел. Индекс 3 напоминает, что речь идёт о пространственном объёме, а не о длине или площади.
Кубический метр — объём куба с ребром 1 м; его обозначают м³. Такой единицей удобно измерять крупные объекты и пространства. Поскольку ребро куба задано в метрах, единица объёма получается кубической: метр, умноженный сам на себя три раза.
Единичный куб выбирают потому, что одинаковые кубы могут заполнять пространство без промежутков и наложений. Кубическая форма позволяет укладывать их рядами, слоями и целыми блоками. Если взять фигуры другой формы, их пришлось бы подгонять друг к другу, и измерение стало бы сложнее.
Когда фигура составлена из единичных кубов, её объём находят подсчётом всех кубов, которые входят в неё, в том числе расположенных на поверхности. Поверхностные кубы тоже занимают часть пространства фигуры, поэтому исключать их нельзя. Если кубы не видны снаружи, полезно мысленно рассмотреть тело по слоям и посчитать каждый слой отдельно.
Равные фигуры имеют равные объёмы, даже если они по-разному расположены в пространстве. Перемещение меняет положение тела, но не растягивает его и не сжимает, поэтому количество занимаемого места остаётся прежним. Например, куб объёмом 1 см³ не станет больше или меньше, если его повернуть.
Составное тело можно разделить на части, если они не перекрываются. Тогда весь объём складывается из объёмов этих частей, потому что каждая точка тела относится ровно к одной части. Если же части пересекаются, общую область при простом сложении посчитают дважды.
Число, которым записан объём, зависит от выбранной единицы. Чем меньше единица, тем больше таких единиц поместится в том же теле, поэтому численное значение возрастёт. При переходе от метров к сантиметрам это изменение происходит по трём направлениям: для кубических единиц коэффициент длины нужно возвести в третью степень.
| Единица | Объём куба с ребром | Связь с кубическими сантиметрами |
|---|---|---|
| Кубический метр (м³) | 1 м | 1 м³ = 1 000 000 см³ |
Чтобы пользоваться таблицей, найдите нужную единицу и сравните объём куба с ребром, указанным во втором столбце. Связь в третьем столбце позволяет перевести результат в кубические сантиметры. Для обратного перевода из см³ в м³ нужно разделить число на 1 000 000.
Фигура составлена из 12 одинаковых кубиков объёмом 1 см³ каждый. Требуется найти объём всей фигуры. Так как каждый кубик имеет одинаковый известный объём, достаточно посчитать их суммарный объём.
Ответ: 12 см³.
Ящик заполнен без промежутков кубиками с ребром 1 см: в длину помещается 6 кубиков, в ширину 4, в высоту 3. Нужно определить объём ящика. Сначала найдём число кубиков в одном слое, затем учтём количество слоёв.
Ответ: 72 см³.
Тело состоит из двух неперекрывающихся частей объёмом 24 см³ и 0,03 дм³. Общий объём нужно выразить в см³. Складывать величины сразу нельзя, потому что они записаны в разных единицах, поэтому сначала выполним перевод.
Ответ: 54 см³.
Можно посчитать кубики и записать только их количество, не указав размер. Так делают, забывая, что один и тот же предмет можно измерять крупными или мелкими единичными кубами, а число будет разным. Проверьте себя: у результата всегда должны быть указаны единица и её размер, например 12 см³.
Иногда объём записывают в сантиметрах или квадратных сантиметрах. Причина в том, что ученик смешивает измерение длины, площади и объёма. Сверьте тип величины: объём относится к пространству и выражается кубическими единицами — например, см³, а не см или см².
При переводе кубических единиц ошибочно умножают на 10, как при переводе длины между соседними единицами. Но в объёме меняется размер по трём направлениям, поэтому коэффициент длины возводят в третью степень: например, 1 дм³ = 10³ см³ = 1000 см³. Для проверки представьте куб с ребром 1 дм и посчитайте, сколько сантиметровых кубиков помещается в нём.
Если части тела перекрываются, простое сложение их объёмов приводит к завышенному ответу: общая область учитывается дважды. Такую ошибку допускают, когда забывают проверить, соприкасаются части только границами или занимают одно и то же пространство. Перед сложением убедитесь, что части не перекрываются; если пересечение есть, его объём нужно учитывать отдельно.
Для работы с объёмами нужно знать единицы длины и уметь переводить их друг в друга. Это помогает понимать, почему кубические единицы переводятся не так, как обычные единицы длины: коэффициент преобразования применяется по трём измерениям. Например, равенство 1 м = 100 см приводит к равенству 1 м³ = 1 000 000 см³.
Понятие объёма станет основой для изучения конкретных пространственных тел. При разборе призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара потребуется находить объём уже не только подсчётом кубиков, но и с помощью формул. Смысл величины при этом останется тем же: она показывает, сколько места занимает тело.
Что показывает объём фигуры?
Объём показывает, сколько места занимает фигура в пространстве. Его числовое значение выражают в выбранных кубических единицах.
Почему объём измеряют кубическими единицами?
Единичный куб заполняет пространство без промежутков и наложений, поэтому им удобно измерять тела. Объём такого куба записывают в кубических единицах, например см³ или м³.
Как выбрать единицу объёма?
Единицу выбирают так, чтобы было удобно измерять тело и записывать результат. Для небольших объектов часто используют см³, для больших пространств — м³.
Почему объёмы частей можно складывать не всегда?
Складывать объёмы можно, если части не перекрываются. Если у частей есть общая область, при сложении её объём будет учтён дважды.
Как перевести кубические метры в кубические сантиметры?
В одном метре 100 сантиметров, поэтому куб со стороной 1 м состоит по каждому направлению из 100 отрезков по 1 см. Значит, 1 м³ = 100³ см³ = 1 000 000 см³.
5.1. Что такое объём?
