64. О понятии тела и его поверхности в геометрии

Определения и обозначения

Тело — часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью; по принятому определению тело включает эту поверхность. Иными словами, это не только объёмная внутренняя часть, но и её граница. Такое определение помогает точно решить, принадлежит ли телу точка, лежащая на краю.

Поверхность тела — совокупность точек, отделяющих тело от остальной части пространства. Её можно представить как границу между внутренней и внешней областями. Это понятие нужно, чтобы описывать оболочку фигуры отдельно от самой объёмной фигуры.

Внутренняя точка тела — точка, для которой существует окрестность, целиком лежащая внутри тела. Окрестность — небольшая область пространства вокруг точки. Такое условие позволяет отличить точку, уверенно находящуюся внутри, от точки на границе.

Граничная точка тела — точка поверхности, в любой окрестности которой есть как точки тела, так и точки вне тела. Значит, сколь бы близкую область вокруг неё мы ни взяли, она затронет обе стороны границы. Это определение помогает распознавать точки поверхности, не принимая их за внутренние или внешние.

Как это устроено

Чтобы описать тело, недостаточно сказать, где находится его внутренняя часть: нужно ещё указать, где она заканчивается. Если не различать внутренность и границу, окажется непонятно, относится ли крайняя точка к фигуре. В геометрии эту неопределённость снимают определениями внутренних и граничных точек. Так можно строго обсуждать принадлежность точек, а не полагаться на впечатление от рисунка.

Замкнутая поверхность не имеет разрывов, через которые можно было бы перейти изнутри наружу, не пересекая границу. Она отделяет внутреннюю область от внешней: точка внутри находится по одну сторону, а точка снаружи — по другую. Вместе с поверхностью внутренняя область образует тело. Это разделение даёт способ задавать фигуру в пространстве даже тогда, когда её внутренность нельзя изобразить на плоском листе.

Представьте шар: его внутренняя часть заполнена точками, а поверхность образует внешнюю границу. В математической модели шар — тело, а сферу называют его поверхностью; они связаны, но не совпадают. Аналогично у куба объёмная часть и оболочка — разные объекты: оболочка состоит из граней, рёбер и вершин, а тело включает также внутренние точки. Примеры показывают, почему слово «поверхность» нельзя использовать как название всего тела.

Тело занимает часть трёхмерного пространства, а поверхность служит его границей и имеет меньшую размерность. Например, куб — объёмная фигура, тогда как его поверхность состоит из плоских граней, которые сами по себе не заполняют объём. У шара поверхность также двумерна, хотя изогнута. Различие размерностей объясняет, почему тело характеризуют объёмом, а поверхность — площадью.

В знакомых предметах можно распознавать геометрические модели: коробку сопоставлять с кубом или прямоугольным параллелепипедом, мяч — с шаром. Но реальный предмет не тождествен геометрическому телу: у него есть толщина стенок, материал и неровности, которые модель может не учитывать. Кроме того, видимая сторона оболочки — лишь часть полной границы, потому что задняя и скрытая стороны тоже относятся к поверхности. Поэтому сначала уточняют, какую идеализированную фигуру представляет предмет, а затем отдельно называют её тело и поверхность.

Тело и ограничивающая его поверхность

Сравнивайте объекты по строкам: сначала выясните, о части пространства или о её границе идёт речь, затем проверьте, какие точки включены. В примере с шаром эта проверка показывает, что внутренняя точка принадлежит телу, но не поверхности. Таблица особенно полезна, когда в условии слова «шар», «оболочка» или «граница» употреблены рядом.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены шар и его граница. Укажите, какие точки принадлежат телу, а какие — только его поверхности. Учитывайте принятое определение: ограничивающая поверхность входит в тело. Разберём положение каждой точки по отдельности.

1. Точка внутри шара принадлежит телу, но не его поверхности.
2. Точка на границе принадлежит поверхности и, поскольку граница включена в тело, также принадлежит телу.
3. Значит, «только поверхности» в смысле принадлежности телу нет: поверхность — часть тела, а не отдельная от него часть.

Ответ: внутренняя точка принадлежит телу; граничная принадлежит и телу, и поверхности.

Задача 2. Рассмотрите куб и его оболочку. Объясните, что в каждом случае называют телом, а что — поверхностью тела. Необходимо отличить заполненную объёмную фигуру от её наружной границы. Для этого выясним, какие точки охватывает каждое название.

1. Куб как тело включает точки внутри него и точки его границы.
2. Оболочка куба — его поверхность, состоящая из всех граней вместе с их рёбрами и вершинами.
3. Если говорят только об оболочке, внутренние точки куба к ней не относятся.

Ответ: тело — куб с внутренними и граничными точками; поверхность — его оболочка.

Задача 3. Даны замкнутая поверхность и три точки: одна внутри неё, одна на ней и одна снаружи. Определите, какие точки относятся к телу и его поверхности. Сначала разделим точки по положению относительно границы. Затем применим правило, что тело включает поверхность, а поверхность состоит только из граничных точек.

1. Точка внутри относится к телу, но не к поверхности.
2. Точка на замкнутой поверхности относится и к поверхности, и к телу.
3. Точка снаружи не относится ни к телу, ни к его поверхности.

Ответ: внутренняя — только к телу; лежащая на границе — к телу и поверхности; внешняя — ни к одному из них.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать тело и поверхность одним и тем же. Так думают, потому что в быту часто называют «поверхностью» весь предмет целиком; проверить себя можно вопросом, есть ли у описываемой фигуры внутренние точки. Если есть, то это тело, а поверхность — лишь его граница.

Вторая ошибка — считать поверхностью только видимую оболочку предмета. На рисунке или при взгляде на вещь часть границы скрыта, поэтому легко забыть о ней. Проверьте, описываете ли вы всю границу фигуры: в геометрии к поверхности относятся и невидимые части.

Третья ошибка — утверждать, что тело состоит только из внутренних точек. Это противоречит принятому определению, по которому тело включает ограничивающую поверхность. Чтобы проверить принадлежность, отдельно рассмотрите точку внутри и точку на границе: обе относятся к телу, но только вторая лежит на поверхности.

Четвёртая ошибка — называть граничную точку внешней. Их путают, потому что граница соседствует с внешней областью, однако точка на границе и точка снаружи занимают разные положения. Проверьте, лежит ли точка на поверхности: если лежит, она граничная и относится к телу; внешняя точка находится за границей.

Связь с другими темами

Для работы с телами нужно знать, что такое точка и пространство, а также понимать, что поверхность может быть замкнутой. Полезно различать внутреннюю и внешнюю области: именно относительно них определяют положение точек. Эти понятия позволяют переходить от наглядной модели к строгому описанию фигуры.

Различие между телом и его поверхностью понадобится при изучении многогранников и тел вращения. У многогранника рассматривают грани, рёбра и вершины, а у тел вращения — их поверхности и объёмные части. Это также основа для понимания того, что объём относится к телу, а площадь поверхности — к его границе.

Что запомнить

• Тело занимает часть пространства и ограничивается поверхностью.
• Поверхность тела является его границей.
• Тело и его поверхность — связанные, но разные геометрические объекты.
• Внутренние точки лежат внутри тела, граничные — на его поверхности.
• Замкнутая поверхность отделяет внутреннюю область от внешней.
• При решении задач важно уточнять, включается ли граница в тело.