63. Вписанные и описанные многогранники

Определения и обозначения

Многогранник называют вписанным в сферу, если все его вершины лежат на одной сфере. Эту сферу называют описанной около многогранника. Такое определение позволяет свести вопрос о сфере к поиску общей точки, равноудалённой от всех вершин.

Сфера, описанная около многогранника, — это сфера, проходящая через все его вершины. Расстояние от её центра до каждой вершины является радиусом R. Это удобно, когда нужно проверить, существует ли такая сфера, или вычислить её радиус.

Многогранник называют описанным около сферы, если все его грани касаются одной сферы. Сферу при этом называют вписанной в многогранник. Так описывают расположение тела, при котором сфера касается каждой грани, а не проходит через вершины.

Вписанная в многогранник сфера — это сфера, касающаяся каждой его грани. Её радиус r равен расстоянию от центра до плоскости любой грани. Определение помогает искать центр по условию равных расстояний до граней.

Как это устроено

Для описанной сферы расстояния от её центра до всех вершин должны быть одинаковыми: каждое из них равно радиусу. Поэтому центр ищут не по граням, а по вершинам. Если известны две вершины, точки, равноудалённые от них, образуют плоскость, перпендикулярную соединяющему их отрезку и проходящую через его середину.

Центр сферы, проходящей через вершины, должен находиться на каждой из таких плоскостей. Это следует из свойства серединного перпендикуляра: точки на нём одинаково удалены от концов отрезка. Пересекая плоскости, построенные для разных пар вершин, можно определить центр; затем проверяют, что расстояния до остальных вершин тоже равны.

Для вписанной сферы расстояние от центра до плоскости грани измеряют по перпендикуляру. В точке касания радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости, поэтому его длина и есть расстояние от центра до этой плоскости. Если сфера касается всех граней, все эти расстояния равны радиусу r.

Центр вписанной сферы находится внутри многогранника и равноудалён от плоскостей его граней. Для двух граней точки, равноудалённые от их плоскостей, лежат на биссекторной плоскости двугранного угла; это плоскость, делящая угол между гранями пополам. Пересечение таких плоскостей помогает найти центр, после чего проверяют расстояния до остальных граней.

У правильного многогранника центр симметрии равноудалён от всех вершин и от всех граней. Равенство расстояний до вершин позволяет провести сферу через них, а равенство расстояний до граней — провести сферу, касающуюся каждой грани. Поэтому у правильного многогранника можно найти и описанную, и вписанную сферы.

Вписанная и описанная сферы многогранника

Сначала определите, какая сфера дана в задаче: описанная связана с вершинами, а вписанная — с гранями. Затем используйте соответствующее условие для центра и радиуса. Так таблица помогает выбрать нужные расстояния и не перепутать два случая.

Разбор задач

Сфера, описанная около куба

Условие. Ребро куба равно a. Найдите радиус сферы, описанной около куба. В такой сфере должны лежать все вершины, поэтому центр куба равноудалён от них благодаря симметрии. Радиус равен расстоянию от центра до любой вершины.

1. Пространственная диагональ куба соединяет противоположные вершины и проходит через центр.
2. По теореме Пифагора её длина равна d = √(a² + a² + a²) = a√3.
3. Центр делит диагональ пополам, значит, расстояние до вершины равно половине её длины.

Ответ: R = a√3/2.

Сфера, вписанная в куб

Условие. Ребро куба равно a. Найдите радиус сферы, вписанной в куб. Центр такой сферы находится на равных расстояниях от плоскостей всех шести граней. По симметрии это центр куба, а радиус — перпендикулярное расстояние от него до любой грани.

1. Расстояние между противоположными гранями куба равно длине ребра a.
2. Центр лежит посередине между этими гранями, поэтому расстояние до каждой из них равно половине этого промежутка.
3. Это расстояние и есть радиус сферы, касающейся грани.

Ответ: r = a/2.

Сфера около правильной четырёхугольной пирамиды

Условие. Докажите, что около правильной четырёхугольной пирамиды можно описать сферу, и найдите её радиус, если сторона основания равна a, а высота равна h. Правильность пирамиды означает, что вершина расположена над центром квадратного основания. По симметрии центр сферы можно искать на высоте пирамиды.

1. Обозначим через O центр основания, а через S вершину пирамиды. Пусть центр описанной сферы C расположен на высоте OS, на расстоянии x от плоскости основания.
2. Расстояние от O до вершины основания равно половине диагонали квадрата: a√2/2. Поэтому расстояние от C до вершины основания в квадрате равно x² + a²/2.
3. Расстояние от C до вершины S равно h − x, если C лежит между основанием и S. Приравниваем квадраты радиусов: x² + a²/2 = (h − x)².
4. После сокращения x = (h² − a²/2)/(2h). Подстановка в выражение для радиуса даёт R = √(x² + a²/2) = (h² + a²/2)/(2h).

Найденная точка на высоте равноудалена от вершин основания и от S; все четыре вершины основания расположены симметрично. Значит, сфера с центром C проходит через все вершины пирамиды. Ответ: R = (h² + a²/2)/(2h).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что описанная сфера касается всех рёбер. Её путают со сферой, которая касается граней, но по определению описанная сфера проходит через вершины. Проверьте себя: радиус к каждой вершине должен быть одинаковым, а касание рёбер не является условием.

Ошибка: считать достаточным касание вписанной сферы нескольких граней. Так думают, когда проверяют только видимые или выбранные грани, однако сфера должна касаться каждой грани многогранника. Для проверки перечислите все грани и убедитесь, что расстояние от центра до каждой их плоскости одно и то же.

Ошибка: при поиске центра описанной сферы приравнивать расстояния до граней. Это условие относится к вписанной сфере, а для описанной нужны равные расстояния до вершин. Перед вычислениями уточните, через что проходит сфера, и выберите соответствующие точки измерения.

Ошибка: измерять расстояние до отдельной точки грани вместо расстояния до её плоскости. Точка может быть не местом касания, и её расстояние до центра не задаёт радиус вписанной сферы. Опускайте перпендикуляр из центра на плоскость каждой грани и сравнивайте длины этих перпендикуляров.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно уметь находить расстояние от точки до плоскости: именно оно задаёт радиус вписанной сферы. Теорема Пифагора помогает вычислять пространственные диагонали и расстояния до вершин, как в задаче о кубе. Тема связана с правильными многогранниками, площадями поверхности и объёмами тел, поскольку симметрия упрощает поиск центров и радиусов. Эти же идеи полезны в задачах о сечениях и взаимном расположении прямых, плоскостей и сфер.

Что запомнить

• Описанная сфера проходит через все вершины многогранника.
• Вписанная сфера касается всех граней многогранника.
• Расстояния от центра описанной сферы до всех вершин равны её радиусу.
• Радиусы вписанной сферы перпендикулярны плоскостям граней в точках касания.
• Центр описанной сферы равноудалён от вершин.
• Центр вписанной сферы равноудалён от плоскостей граней.
• У правильного многогранника можно найти и вписанную, и описанную сферы.