"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Многогранник можно связать со сферой двумя способами: расположить его вершины на сфере или сделать так, чтобы сфера касалась всех его граней. В первом случае многогранник вписан в сферу, во втором — описан около неё. Эти понятия помогают находить радиусы сфер, решать задачи о правильных пирамидах и кубах, а также связывать свойства многогранников с расстояниями в пространстве. Главное — не перепутать, что именно должно лежать на сфере или касаться её.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник, вписанный в сферу, — это многогранник, все вершины которого лежат на этой сфере. Сферу в таком случае называют описанной около многогранника. Это определение позволяет свести вопрос о сфере к проверке расстояний от её центра до вершин.
Описанная около многогранника сфера — сфера, проходящая через все его вершины. Иными словами, расстояние от центра сферы до каждой вершины одинаково. Такое понятие используют, чтобы находить радиус сферы по геометрии многогранника.
Многогранник, описанный около сферы, — многогранник, все грани которого касаются этой сферы. Касание означает, что сфера имеет с плоскостью каждой грани ровно одну общую точку. Это условие связывает сферу уже не с вершинами, а с гранями.
Вписанная в многогранник сфера — сфера, касающаяся каждой его грани. Её центр находится на одинаковом расстоянии от плоскостей граней, а это расстояние служит радиусом. Определение помогает понять, существует ли единая сфера, подходящая ко всем граням одновременно.
При вписывании многогранника в сферу условие относится к вершинам, а при описывании многогранника около сферы — к граням. Разница возникает из самой геометрии: вершина — точка, а грань лежит в плоскости, поэтому и измеряют разные расстояния. Если центр сферы равноудалён от вершин, они окажутся на одной сфере; если он равноудалён от плоскостей граней, сфера может касаться этих плоскостей. Важно проверять именно все вершины или все грани, а не часть из них.
Центр описанной сферы равноудалён от всех вершин многогранника, потому что радиусы одной сферы равны. Для тетраэдра центр можно искать как точку пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер перпендикулярно этим рёбрам. Каждая такая плоскость состоит из точек, равноудалённых от концов соответствующего ребра. Поэтому точка пересечения подходящих плоскостей равноудалена от вершин тетраэдра и может быть центром описанной сферы.
Чтобы установить, можно ли вписать многогранник в сферу, ищут точку, равноудалённую от всех его вершин. Причина в том, что расстояния от центра сферы до точек сферы должны быть равны её радиусу. Если подходящая точка существует, расстояние до любой вершины задаёт радиус; если нет, одной сферой все вершины не охватить. Это условие нужно проверять для полного набора вершин.
Центр вписанной сферы равноудалён от плоскостей всех граней, поскольку радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной плоскости. Кратчайшее расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром, поэтому расстояния до граней равны радиусу. Чтобы найти радиус, достаточно определить это расстояние от центра до любой грани. Но равенство расстояний необходимо установить для всех граней.
Для описания многогранника около сферы ищут центр, равноудалённый от плоскостей всех граней, а затем проверяют, что сфера касается каждой грани. Одного равенства расстояний до плоскостей недостаточно, если сфера не касается самих граней многогранника. Например, точка касания может оказаться за пределами грани, хотя принадлежит её плоскости. Поэтому проверяют и равенство расстояний, и расположение точек касания на гранях.
В таблице собраны отличия двух случаев. Сначала определите, что должно лежать на сфере или касаться её, затем используйте соответствующее условие для центра и радиуса. Это поможет не подменить расстояние до вершины расстоянием до грани.
| Случай | Что лежит на сфере или касается её | Условие для центра | Как определяется радиус |
|---|---|---|---|
| Многогранник вписан в сферу | Все вершины лежат на сфере | Центр равноудалён от всех вершин | Расстояние от центра до любой вершины |
| Многогранник описан около сферы | Все грани касаются сферы | Центр равноудалён от плоскостей всех граней | Расстояние от центра до любой грани |
У куба ребро 6. Найдём радиус сферы, описанной около куба. Центр сферы находится в центре куба, поскольку эта точка равноудалена от всех его вершин. Радиусом будет расстояние от центра до любой вершины, то есть половина пространственной диагонали куба.
Ответ: 3√3.
У правильной треугольной пирамиды сторона основания равна 6, высота равна 4. Найдём радиус описанной сферы. Из симметрии следует, что её центр лежит на оси пирамиды, поэтому достаточно сравнить расстояния до вершины основания и до вершины пирамиды. Расстояние от центра основания треугольника до его вершины равно 2√3.
Ответ: 7/2.
Для той же правильной треугольной пирамиды найдём радиус вписанной сферы. Её центр лежит на оси симметрии, а расстояния от него до основания и боковой грани должны совпадать. Пусть центр находится на высоте x над основанием; тогда расстояние до основания равно x.
Ответ: (√57 − 3)/4.
Первая ошибка — путать вписанный многогранник с описанным. Её допускают, потому что слова похожи, хотя в одном случае речь идёт о вершинах на сфере, а в другом — о касании сферой граней. Проверка простая: спросите себя, что именно должно соприкасаться со сферой — точки-вершины или грани.
Вторая ошибка — считать достаточным, чтобы на сфере лежали некоторые вершины. Такое рассуждение возникает, если проверить только несколько удобных точек. Для описанной сферы должны лежать все вершины, поэтому перед ответом нужно пройти по полному списку вершин и убедиться, что расстояния от центра равны.
Третья ошибка — находить радиус вписанной сферы как расстояние до вершины. Это происходит из-за привычки связывать радиус сферы с точками, но вписанная сфера касается граней, а не вершин. Проверьте, что радиус проведён перпендикулярно от центра к плоскости грани и заканчивается в точке касания.
Четвёртая ошибка — приравнять расстояния до граней и сразу объявить сферу вписанной. Равные расстояния до плоскостей ещё не гарантируют, что сфера касается каждой грани многогранника. Нужно проверить положение точек касания: они должны принадлежать самим граням, а не только продолжениям их плоскостей.
Для решения задач понадобятся свойства сферы и умение находить расстояние от точки до плоскости: именно эти расстояния становятся радиусами или проверяются на равенство. Также пригодятся свойства перпендикуляров и серединных перпендикулярных плоскостей, особенно при поиске центра описанной сферы. Симметрия правильных многогранников и пирамид помогает заранее определить, где искать центр, и упрощает вычисления. Эти знания применяются в задачах на площади и объёмы многогранников и сфер.
Чем многогранник, вписанный в сферу, отличается от многогранника, описанного около сферы?
У вписанного в сферу многогранника на сфере лежат все вершины. У многогранника, описанного около сферы, сферу касаются все грани. В первом случае проверяют расстояния от центра до вершин, во втором — до плоскостей граней.
Как понять, можно ли около многогранника описать сферу?
Нужно проверить, существует ли точка, равноудалённая от всех вершин многогранника. Если такая точка есть, расстояние от неё до любой вершины будет радиусом описанной сферы. Равенство расстояний только до некоторых вершин недостаточно.
Где находится центр сферы, описанной около правильной пирамиды?
У правильной пирамиды центр описанной сферы лежит на её оси симметрии — прямой, проходящей через вершину и центр основания. Его положение находят, приравнивая расстояния до вершины пирамиды и до вершины основания.
Как найти радиус сферы, вписанной в многогранник?
Сначала находят точку, равноудалённую от плоскостей всех граней. Затем измеряют расстояние от этой точки до любой грани: оно и есть радиус вписанной сферы. Для правильной пирамиды центр обычно ищут на оси симметрии.
Обязательно ли у любого многогранника есть вписанная сфера?
Нет. Для существования такой сферы должна найтись точка, равноудалённая от плоскостей всех граней, причём сфера с этим центром и радиусом должна касаться каждой грани. У произвольного многогранника эти условия могут не выполняться.
3.4. Вписанные и описанные многогранники
