3.3. Касание круглых тел с плоскостью, с прямой и между собой

Определения и обозначения

Касание — положение двух фигур или тел, при котором у них есть общая точка, линия или поверхность, но их внутренние части не пересекаются. Иными словами, тела соприкасаются, не заходя одно внутрь другого в области соприкосновения. Это понятие позволяет отличить соприкосновение от пересечения. В задачах о круглых телах общим элементом чаще всего оказывается точка или линия.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания. Определение нужно, чтобы проверить, действительно ли плоскость лишь касается сферы, а не проходит сквозь неё. Обозначим радиус сферы через R, а расстояние от центра до плоскости через d.

Касательная прямая к сфере — прямая, имеющая со сферой единственную общую точку. Если прямая пересекает сферу в двух точках, она называется секущей, а если общих точек нет — не пересекает её. Определение помогает связать вид взаимного расположения с расстоянием от центра до прямой. Точку единственного пересечения также называют точкой касания.

Касание шаров — внешнее или внутреннее соприкосновение двух шаров, различаемое по расположению центров и радиусов. При внешнем касании шары находятся снаружи друг друга, при внутреннем один расположен внутри другого и касается его изнутри. Для проверки сравнивают расстояние между центрами с суммой либо разностью радиусов. Точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.

Как это устроено

Пусть плоскость находится на расстоянии d от центра сферы радиуса R. Самое короткое расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром; любой наклонный отрезок длиннее него. Поэтому при d > R даже ближайшая точка плоскости лежит вне сферы, а при d < R плоскость проходит внутрь сферы и пересекает её по окружности. Ровно при d = R ближайшая точка оказывается на сфере, и плоскость касается её.

Радиус, проведённый из центра в точку касания, совпадает с перпендикуляром к плоскости. Если бы он не был перпендикулярен, из центра нашёлся бы более короткий отрезок до плоскости, и он оказался бы меньше R. Тогда плоскость прошла бы внутри сферы, а не касалась её. Поэтому перпендикуляр из центра заканчивается в единственной точке касания.

Для прямой и сферы удобно провести через центр сферы и прямую плоскость. В сечении сфера даёт окружность, а прямая остаётся прямой; расстояние от центра до прямой в этой плоскости равно расстоянию до исходной прямой в пространстве. Если это расстояние равно R, прямая касается окружности в одной точке, а значит, и сферы — в одной точке. При расстоянии меньше R получаются две точки пересечения, при большем — ни одной.

Два шара касаются, когда их границы встречаются в одной точке, не образуя общей области пересечения. При внешнем соприкосновении путь от центра первого шара до второго проходит через точку касания, поэтому расстояние между центрами равно R₁ + R₂. При внутреннем соприкосновении центры и точка касания лежат на одной прямой, а расстояние между центрами равно разности радиусов. Именно расположение одного шара внутри другого определяет, какую из двух формул нужно выбрать.

Цилиндрические и конические поверхности исследуют, подбирая плоское сечение, в котором видны ось, радиусы или образующие. Образующая — прямая, составляющая боковую поверхность цилиндра или конуса; в подходящем сечении она помогает увидеть, где поверхность встречается с плоскостью. Для цилиндра сечение, перпендикулярное оси, даёт окружность, поэтому касание такой плоскости проверяют по расстоянию до оси и радиусу. Для конуса осевое сечение показывает расположение образующих и позволяет проверять соприкосновение в плоскости.

Основные случаи касания круглых тел

Сначала определите, какие именно тела соприкасаются, затем выберите соответствующую строку. Для сферы сравнивают расстояние от центра с радиусом, а для шаров сначала выясняют, внешнее или внутреннее касание рассматривается. Перпендикулярный отрезок помогает найти расстояние и указать точку касания.

Разбор задач

Сфера и плоскость

Сфера имеет радиус 6 см, расстояние от её центра до плоскости также равно 6 см. Нужно определить взаимное положение сферы и плоскости и найти расстояние от центра до точки касания. Сравним заданное расстояние с радиусом: равенство указывает на касание. Расстояние от центра до точки касания будет длиной радиуса.

1. Обозначим радиус R = 6 см, расстояние от центра до плоскости d = 6 см. Получаем d = R, поэтому плоскость касается сферы.
2. Опустим из центра перпендикуляр на плоскость. Его основание — единственная точка касания, поскольку перпендикуляр к плоскости является кратчайшим расстоянием.
3. Длина перпендикуляра равна d, то есть 6 см. Это одновременно длина радиуса, проведённого к точке касания.

Ответ: плоскость касается сферы; расстояние от центра до точки касания равно 6 см.

Сфера и прямая

Радиус сферы с центром O равен 5 см, расстояние от O до прямой — 4 см. Нужно найти число общих точек и сравнить его со случаем, когда расстояние равно 5 см. Здесь полезно рассмотреть сечение через центр и прямую: в нём задача становится вопросом о прямой и окружности. Сравнение расстояния с радиусом сразу определит число пересечений.

1. В первом случае d = 4 см, а R = 5 см, поэтому d < R. Прямая проходит внутри окружности сечения и пересекает её в двух точках.
2. Обе точки сечения принадлежат сфере и исходной прямой. Значит, прямая имеет со сферой две общие точки и не является касательной.
3. При d = 5 см получаем d = R. Прямая касается окружности сечения, а значит, и сферы, в одной точке.

Ответ: при расстоянии 4 см — две общие точки; при расстоянии 5 см — одна общая точка, касание.

Два шара

Радиусы шаров равны 7 см и 3 см, расстояние между центрами равно 10 см. Требуется определить вид касания и указать точку касания, если она существует. Поскольку шары могут касаться снаружи или изнутри, проверим сначала сумму радиусов. Она равна расстоянию между центрами, поэтому подходит условие внешнего касания.

1. Вычислим сумму радиусов: 7 + 3 = 10 см. Полученное значение совпадает с расстоянием между центрами.
2. Следовательно, шары касаются внешним образом. При таком расположении центры и точка соприкосновения лежат на одной прямой.
3. Точка касания находится на отрезке между центрами: от центра шара радиуса 7 см она удалена на 7 см, а от центра шара радиуса 3 см — на 3 см.

Ответ: внешнее касание; точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры, на расстояниях 7 см и 3 см от них соответственно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любую плоскость, проходящую через центр сферы или радиус, касательной. Так рассуждают, смешивая положение плоскости с тем, сколько у неё общих точек со сферой; проверьте расстояние от центра до плоскости и сравните его с радиусом. При касании общая точка должна быть ровно одна.

Не следует принимать пересечение прямой со сферой за касание. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, прямая проходит через сферу и имеет с ней две общие точки, а не одну; чтобы проверить себя, сравните d и R. Равенство d = R, а не неравенство d < R, означает касание.

При внутреннем касании двух шаров нельзя подставлять сумму радиусов: она относится к внешнему соприкосновению. Ошибка возникает, если не учесть, что один шар находится внутри другого; проверьте взаимное расположение и используйте разность большего и меньшего радиусов. Если расстояние между центрами равно этой разности, условие внутреннего касания выполнено.

Нельзя выбирать произвольный отрезок от центра до точки на плоскости или прямой вместо радиуса к точке касания. При касании этот радиус обязательно перпендикулярен касательной плоскости или прямой; иначе выбранный отрезок не задаёт кратчайшее расстояние. Проверьте построение перпендикуляра и убедитесь, что его основание — точка касания.

Связь с другими темами

Для решения задач о касании нужны понятия расстояния от точки до прямой и плоскости, перпендикуляра и свойств сечений сферы. Эти знания помогают сводить пространственную ситуацию к прямоугольному треугольнику или плоской фигуре. Позже условия касания пригодятся при изучении уравнения сферы и взаимного расположения тел. Они также используются в задачах о вписанных и описанных телах, где соприкосновение задаёт важное геометрическое условие.

Что запомнить

• Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра до плоскости равно радиусу.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
• Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу.
• При внешнем касании двух шаров расстояние между центрами равно сумме радиусов.
• При внутреннем касании двух шаров расстояние между центрами равно разности радиусов.
• Точка касания двух шаров лежит на прямой, соединяющей их центры.
• Сложные случаи касания удобно исследовать через подходящее плоское сечение.