3.2. Тела вращения

Определения и обозначения

Тело вращения — тело, полученное при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Эта прямая называется осью вращения. Такое определение связывает объёмную форму с движением знакомой плоской фигуры и помогает понять, откуда берутся части тела.

Цилиндр возникает при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Две противоположные стороны, не лежащие на оси, образуют равные круги — основания, а остальные точки прямоугольника заметает боковую поверхность. Это представление помогает отличить основания от боковой части.

Конус получают, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. Круг, который описывает второй катет, — основание; конец оси у этого круга становится вершиной, а вращение гипотенузы образует боковую поверхность. Поэтому катет-ось задаёт высоту, а другой катет — радиус основания.

Шар — тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра. Его граница называется сферой: сфера состоит из точек, равноудалённых от центра, а шар включает также точки внутри. Различие нужно, чтобы точно говорить о поверхности и о всём объёмном теле.

Как это устроено

Представь, что плоская фигура закреплена и поворачивается вокруг прямой. Каждая её точка, не лежащая на этой прямой, движется по окружности; радиус этой окружности равен расстоянию от точки до оси. Все положения фигуры вместе заполняют объёмное тело, а сама прямая остаётся неподвижной. Поэтому она служит осью, относительно которой описывают форму и размеры тела.

Если вращать прямоугольник вокруг стороны, эта сторона не движется и задаёт направление цилиндра. Противоположная ей сторона описывает круг, а другая пара сторон заметает поверхность, соединяющую два круга. Круги равны, потому что расстояние от каждой их точки до оси одно и то же — ширина прямоугольника. Длина стороны-оси становится высотой цилиндра, а ширина — радиусом основания.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет остаётся неподвижным, а второй катет описывает круг. Чем дальше точка второго катета от вершины на оси, тем больше её круговая траектория; у свободного конца получается окружность основания. Гипотенуза при движении заметает наклонную боковую поверхность конуса. Значит, катет на оси задаёт высоту, а перпендикулярный ему катет — радиус основания.

Полукруг содержит не только дугу, но и все точки внутри неё. При вращении его точки заполняют круговые сечения от центра до края, поэтому получается всё тело шара. Если вращать только дугу, движутся лишь точки границы полукруга, и их траектории составляют сферу. Так различие между шаром и сферой следует из того, вращается ли заполненная фигура или только её контур.

Сечение — это фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью. Когда плоскость перпендикулярна оси цилиндра, она отсекает круг; у шара такие сечения тоже круговые, но их размер зависит от положения плоскости. У конуса сечения, перпендикулярные оси, также круги: ближе к вершине они меньше, а у самой вершины сечение вырождается в точку. Поэтому форма и изменение сечений помогают узнать тело и понять, как оно ориентировано.

Как образуются основные тела вращения

Сопоставляй в таблице фигуру, которую вращают, с прямой-осью и получающимися частями тела. Чтобы определить размеры, найди расстояние от оси до наиболее удалённой точки, задающей основание: оно станет радиусом. Сторона или отрезок, совпадающий с осью, задаёт высоту цилиндра или конуса.

Разбор задач

Задача 1. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают вокруг стороны длиной 5 см. Определим тело, его радиус и высоту. Сторона, вокруг которой вращают фигуру, становится осью, а перпендикулярная ей сторона указывает расстояние до края будущего основания.

1. При вращении прямоугольника вокруг стороны получается цилиндр.
2. Сторона длиной 5 см совпадает с осью, поэтому высота цилиндра равна 5 см.
3. Сторона длиной 3 см перпендикулярна оси и задаёт расстояние до окружности основания, поэтому радиус равен 3 см.

Ответ: цилиндр с радиусом основания 3 см и высотой 5 см. Проверка: радиус измеряется поперёк оси, а высота — вдоль неё. Значит, размеры не перепутаны.

Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращают вокруг катета длиной 8 см. Нужно определить вид тела, высоту и радиус основания. Сначала выясним, какой отрезок остаётся неподвижным и какой описывает окружность.

1. Вращение прямоугольного треугольника вокруг катета образует конус.
2. Катет длиной 8 см совпадает с осью конуса, поэтому его высота равна 8 см.
3. Второй катет, длиной 6 см, перпендикулярен оси и описывает окружность основания; радиус равен 6 см.

Ответ: конус высотой 8 см с радиусом основания 6 см. Гипотенуза наклонена к оси и образует боковую поверхность, поэтому она не может быть высотой. Это позволяет проверить, что в решении использованы именно катеты.

Задача 3. Полукруг радиуса 4 см вращают вокруг прямой, содержащей его диаметр. Определим полученное тело, его границу и вид сечений плоскостями, перпендикулярными оси. Здесь нужно различить вращение заполненной фигуры и вращение только её дуги.

1. Полукруг содержит все точки внутри дуги, поэтому при вращении получается шар.
2. Внешняя граница шара — сфера; она возникает при вращении дуги полукруга вокруг диаметра.
3. Плоскость, перпендикулярная оси, даёт круговое сечение. Через центр шара его радиус равен 4 см, а при удалении плоскости от центра радиус сечения уменьшается.

Ответ: получается шар радиуса 4 см, его границей является сфера. Сечения перпендикулярными оси — круги, причём наибольший круг проходит через центр. Это следует из того, что от центра к краю полукруга расстояние не превышает 4 см.

Типичные ошибки

Путают шар и сферу. Сферу называют шаром, потому что в обычной речи этими словами часто обозначают похожие предметы. Но сфера — только граница, а шар содержит и все внутренние точки. Проверка простая: если речь идёт лишь о равноудалённых от центра точках, это сфера; если включена внутренняя область — шар.

Смешивают ось и радиус. Ось задаёт прямую, вокруг которой происходит вращение, а радиус — расстояние от этой прямой до точки или до окружности основания. Ошибка возникает, когда любой отрезок, связанный с вращением, считают радиусом. Проверь себя: радиус перпендикулярен оси и заканчивается на окружности, а ось проходит вдоль тела.

Думают, что вращение прямоугольника вокруг разных сторон создаёт разные типы тел. Это происходит из-за того, что меняются положение фигуры и длины отрезков, которые принимают за радиус и высоту. Однако при вращении вокруг любой стороны получается цилиндр; могут измениться только его размеры и ориентация. Укажи сторону-ось: её длина будет высотой, а перпендикулярная сторона — радиусом.

Принимают гипотенузу за высоту конуса. Гипотенуза выглядит самой заметной стороной треугольника и действительно участвует в образовании конуса, но она вращается и создаёт боковую поверхность. Высота — это катет, совпадающий с осью, потому что она измеряется вдоль оси от вершины до основания. Проверка: радиус основания и высота соответствуют двум катетам прямоугольного треугольника.

Связь с другими темами

Для понимания тел вращения нужны знания о прямоугольнике, прямоугольном треугольнике, круге и полукруге: из этих плоских фигур строятся цилиндр, конус и шар. Также важно уметь находить расстояние от точки до прямой — оно показывает радиус круговой траектории. Позже представление о частях и сечениях тел поможет изучать площади их поверхностей и объёмы. При решении таких задач сначала устанавливают ось, а затем определяют размеры тела.

Что запомнить

• Тело вращения получают вращением плоской фигуры вокруг прямой.
• Прямая, вокруг которой вращают фигуру, называется осью вращения.
• Вращение прямоугольника вокруг его стороны образует цилиндр.
• Вращение прямоугольного треугольника вокруг катета образует конус.
• Вращение полукруга вокруг диаметра образует шар.
• Сфера — граница шара, а шар включает все точки внутри неё.