"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Точка, прямая и плоскость — исходные понятия, на которых строится стереометрия, то есть геометрия пространственных фигур. Их не определяют через более простые понятия: вместо этого задают свойства с помощью аксиом. Главные аксиомы объясняют, как точки определяют плоскость, когда прямая целиком ей принадлежит и что происходит при пересечении плоскостей. Эти правила помогают обосновывать выводы о фигурах в пространстве.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — одно из основных геометрических понятий; в пространстве её обозначают заглавной латинской буквой, например A. Точка задаёт положение, но не имеет длины, ширины или толщины. По точкам называют другие фигуры и описывают их расположение.
Прямая — основное геометрическое понятие; её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней, например AB. Прямая продолжается бесконечно в обе стороны. Такое обозначение помогает точно указать, о какой прямой идёт речь, и связать её с известными точками.
Плоскость — основное геометрическое понятие; её обозначают строчной греческой буквой, например α, или тремя точками, не лежащими на одной прямой. Плоскость бесконечно простирается во все стороны и вмещает плоские фигуры. Её обозначение позволяет обсуждать, какие точки и прямые ей принадлежат.
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от геометрии на плоскости, она рассматривает, например, расположение пространственных прямых и плоскостей. Эти знания нужны, чтобы описывать и доказывать свойства объёмных фигур.
Точку, прямую и плоскость принимают как исходные понятия, потому что каждое строгое определение должно объяснять понятие через уже известные. Если начать определять их одно через другое, получится цепочка, которой не будет конца. Геометрия останавливается на исходных понятиях и задаёт их свойства аксиомами — утверждениями, которые принимают без доказательства. Благодаря этому рассуждения опираются на единые правила, а не на бытовое представление о фигурах.
Планиметрия изучает фигуры на плоскости, а стереометрия — фигуры в пространстве. Плоскость нужна как связующее звено: она может быть частью пространственной картины, но внутри неё действуют привычные правила плоской геометрии. Поэтому пространственную задачу часто разбирают, выделяя плоскость, в которой лежат нужные точки и прямые. Это позволяет применить знакомые свойства планиметрии к объектам стереометрии.
Аксиома утверждает: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Условие о непрямолинейности существенно: три точки на одной прямой не выделяют одну плоскость, ведь через эту прямую можно провести множество плоскостей. А если точки не лежат на одной прямой, они задают плоскость однозначно. Так можно установить существование и единственность плоскости по трём точкам.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Причина в том, что прямая, проходящая через две точки плоскости, не уходит из неё: все её точки принадлежат той же плоскости. Для вывода нужны именно две точки одной прямой, а не две произвольные точки плоскости. Аксиома помогает проверять, входит ли прямая целиком в плоскость.
По аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это означает, что их общие точки образуют прямую, а не отдельную точку. Чтобы указать прямую пересечения, достаточно найти две различные точки, принадлежащие обеим плоскостям: через них проходит прямая, и по аксиоме о двух точках она лежит в каждой из плоскостей. Так устанавливают существование общей прямой.
| Аксиома | Формулировка | Что позволяет установить |
|---|---|---|
| Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость | Если точки не лежат на одной прямой, через них проходит ровно одна плоскость. | Существование и единственность плоскости, заданной тремя точками. |
| Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости | При принадлежности плоскости двух точек прямой ей принадлежит и вся прямая. | Принадлежность прямой плоскости по двум её точкам. |
| Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой | Общие точки двух плоскостей образуют прямую. | Существование прямой пересечения плоскостей. |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать аксиому по условию задачи: сначала определи, какие объекты даны и что известно об их общих точках. Затем сопоставь условие с формулировкой и проверь, выполнены ли все её требования. Например, для вывода о принадлежности прямой плоскости должны быть известны две точки этой прямой.
Задача 1. Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь важно не угадывать по рисунку, а проверить условие аксиомы: оно как раз указывает на три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому задача сводится к применению правила о существовании и единственности плоскости.
Сопоставим данные с аксиомой: заданы три точки, и они не лежат на одной прямой.
По аксиоме через такие точки проходит плоскость, причём она единственная.
Ответ: одна плоскость.
Задача 2. Точки A и B принадлежат плоскости α. Сделать вывод о прямой AB. Нужно связать данные о двух точках с прямой, которую они определяют. Поскольку A и B обе лежат в α, можно применить аксиому о прямой и плоскости; одной точки для этого вывода было бы недостаточно.
Прямая AB проходит через точки A и B.
Обе точки этой прямой принадлежат плоскости α, поэтому по аксиоме вся прямая AB лежит в α.
Ответ: прямая AB лежит в плоскости α.
Задача 3. Плоскости α и β имеют общую точку M. Что можно утверждать об их пересечении и как указать на нём ещё одну точку, если известна общая прямая этих плоскостей? Сначала применяем аксиому пересечения: общая точка гарантирует, что плоскости пересекаются по прямой. Если общая прямая уже известна, её точки принадлежат обеим плоскостям, поэтому можно выбрать на ней точку, отличную от M.
Так как M принадлежит обеим плоскостям, α и β пересекаются по прямой.
Обозначим известную общую прямую через l. Выберем на l точку N, отличную от M; по условию l лежит в обеих плоскостях.
Значит, N принадлежит α и β и является ещё одной точкой их пересечения. Точки M и N определяют ту же прямую пересечения.
Ответ: плоскости пересекаются по прямой; точку N на известной общей прямой можно взять отличной от M.
Ошибка: считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так думают, потому что запоминают только число точек и забывают условие аксиомы. Проверь, лежат ли точки на одной прямой: если лежат, единственность плоскости не гарантируется.
Ошибка: заключать, что две плоскости имеют лишь одну общую точку, если известно об их общей точке M. Аксиома говорит, что при общей точке плоскости пересекаются по прямой, а не только в M. Чтобы проверить вывод, вспомни формулировку аксиомы и укажи прямую пересечения.
Ошибка: утверждать, что прямая целиком лежит в плоскости, когда известна только одна общая точка. Одну точку могут иметь и пересекающиеся прямая с плоскостью, поэтому такого условия мало. Проверь, известны ли две точки одной прямой, принадлежащие этой плоскости.
Ошибка: путать обозначения точки, прямой и плоскости и из-за этого неверно записывать принадлежность или пересечение. Путаница возникает, если не обращать внимания на тип букв и на то, какие объекты ими названы. Перед записью проверь: точка обычно обозначается заглавной латинской буквой, прямая — строчной латинской или двумя заглавными, плоскость — строчной греческой или тремя точками.
Перед изучением стереометрии полезно вспомнить планиметрические понятия точки, прямой и плоскости, а также принятые для них обозначения. С этими понятиями уже связаны знакомые свойства фигур на плоскости. Они помогают читать условия задач и понимать, какие объекты заданы в пространстве.
Аксиомы стереометрии понадобятся при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей и при доказательстве свойств пространственных фигур. С их помощью обосновывают, что объекты пересекаются или принадлежат одной плоскости. Это основа для дальнейших рассуждений о фигурах в пространстве.
Почему точку, прямую и плоскость не определяют через другие понятия?
Это исходные понятия: чтобы дать им строгое определение, пришлось бы опираться на ещё более простые понятия и так далее. Поэтому в геометрии их свойства задают аксиомами — утверждениями, принимаемыми без доказательства.
Всегда ли через три точки можно провести единственную плоскость?
Нет. Единственная плоскость проходит через три точки только тогда, когда они не лежат на одной прямой. Если все три точки принадлежат одной прямой, через эту прямую можно провести разные плоскости.
Если прямая имеет с плоскостью одну общую точку, обязательно ли она целиком лежит в этой плоскости?
Нет. Одной общей точки недостаточно, чтобы сделать такой вывод: прямая может пересекать плоскость в этой точке. Чтобы заключить, что вся прямая лежит в плоскости, нужно знать, что в ней лежат две точки этой прямой.
Что является пересечением двух плоскостей?
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Эта прямая состоит из всех точек, принадлежащих обеим плоскостям.
Чем стереометрия отличается от планиметрии?
Планиметрия изучает фигуры на плоскости, а стереометрия — фигуры в пространстве. Плоскость связывает эти разделы: пространственные фигуры можно рассматривать в отдельных плоскостях.
3.1. Основные понятия
