3. Круглые тела

Определения и обозначения

Круглое тело — тело, поверхность которого образована вращением плоской фигуры вокруг прямой. Иначе говоря, каждая точка фигуры при повороте описывает окружность или часть окружности. Это определение помогает представить, как из знакомой плоской фигуры получается объёмное тело.

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон; его граница состоит из двух равных кругов и боковой поверхности. Круги называют основаниями цилиндра, а расстояние между их плоскостями — высотой. Такое описание нужно, чтобы связать размеры цилиндра с размерами прямоугольника.

Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов; его основание — круг, а боковая поверхность имеет вершину. Катет, вокруг которого вращают треугольник, задаёт высоту, второй катет — радиус основания. Определение позволяет понять происхождение образующей и увидеть элементы конуса в исходном треугольнике.

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до заданной точки не превосходит заданного числа; эта точка — центр, а число — радиус шара. Слово «не превосходит» означает, что в шар входят и внутренние точки, и его граница. Это определение удобно для описания положения шара и его сечений.

Как это устроено

Если вращать прямоугольник вокруг стороны, то эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра. Противоположная сторона описывает окружность, а вся площадь прямоугольника заметает пространство между двумя равными кругами. Поэтому у цилиндра два основания одинакового радиуса, а боковая поверхность соединяет их. Длина выбранной стороны задаёт высоту, а длина другой — радиус основания.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет остаётся осью и задаёт высоту конуса. Второй катет описывает круг, поэтому он становится радиусом основания. Вершина треугольника на оси при вращении остаётся одной точкой — вершиной конуса, а гипотенуза заметает боковую поверхность. Отрезки от вершины до окружности основания называют образующими; у прямого кругового конуса они равны.

Полукруг при вращении вокруг своего диаметра заполняет шар: точки дуги описывают окружности вокруг оси, а точки внутри полукруга заполняют пространство между ними. Радиус полукруга становится радиусом шара, а середина диаметра — его центром. При этом поверхность, полученная вращением дуги, является сферой. Различие названий отражает устройство: шар — объёмное тело целиком, сфера — его граница.

Плоскость может пересечь круглое тело по-разному, потому что положение сечения зависит от того, где она проходит. Сечение шара всегда является кругом: его центр лежит на перпендикуляре, опущенном из центра шара на плоскость. У конуса сечение плоскостью через ось содержит вершину и диаметр основания, поэтому получается равнобедренный треугольник. Его боковые стороны — образующие, а основание — диаметр круга основания.

Если сечение шара не проходит через центр, расстояние от центра шара до плоскости и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник с радиусом шара. Прямой угол расположен у основания перпендикуляра к плоскости. Поэтому для радиуса шара R, расстояния d и радиуса сечения ρ выполняется ρ² + d² = R². Эта связь объясняет, почему удалённое от центра сечение меньше центрального.

Сравнение цилиндра, конуса и шара

Сначала сравните фигуры, которые вращаются: это помогает восстановить, как устроено каждое тело. Затем по строкам о основаниях и основных элементах удобно проверять, какие величины нужны в задаче. Последняя строка показывает форму сечения, когда плоскость проходит через ось вращения или центр.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какое круглое тело получится при вращении прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см вокруг каждой из его сторон, и указать радиус и высоту. Размеры сторон заданы, но роль стороны меняется вместе с осью вращения. Нужно каждый раз отделить сторону, которая остаётся осью, от перпендикулярной ей стороны.

1. При вращении вокруг стороны 3 см получается цилиндр. Эта сторона задаёт высоту 3 см, а сторона 5 см описывает круг, поэтому радиус равен 5 см.
2. При вращении вокруг стороны 5 см тоже получается цилиндр. Теперь высота равна 5 см, а радиус — 3 см.

Ответ: в обоих случаях получается цилиндр; вокруг стороны 3 см его высота 3 см и радиус 5 см, вокруг стороны 5 см — высота 5 см и радиус 3 см. Проверить соответствие можно по исходному прямоугольнику: осевая сторона становится высотой, а другая задаёт расстояние до окружности основания.

Задача 2. В прямом круговом конусе радиус основания равен 5 см, а высота — 12 см. Найти длину образующей и описать осевое сечение. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник: высота перпендикулярна радиусу, а образующая лежит напротив прямого угла. Поэтому применим теорему Пифагора.

1. Обозначим образующую через l. Запишем связь: l² = 12² + 5².
2. Вычислим: l² = 144 + 25 = 169, значит, l = 13 см, поскольку длина положительна.
3. Плоскость осевого сечения проходит через вершину и ось конуса, а в основании пересекает круг по диаметру 10 см. Боковые стороны сечения — две образующие по 13 см.

Ответ: образующая равна 13 см; осевое сечение — равнобедренный треугольник со сторонами 13 см, 13 см и 10 см. Его равные стороны получаются из образующих по разные стороны оси.

Задача 3. Шар радиуса 10 см пересечён плоскостью на расстоянии 6 см от центра. Найти радиус полученного сечения. Перпендикуляр от центра к плоскости и радиус сечения лежат в плоскости прямоугольного треугольника. Радиус шара соединяет центр с точкой окружности сечения и потому является гипотенузой.

1. Обозначим радиус сечения через ρ. По теореме Пифагора ρ² + 6² = 10².
2. Получаем ρ² = 100 − 36 = 64.
3. Извлекаем корень: ρ = 8 см, так как радиус не может быть отрицательным.

Ответ: радиус сечения равен 8 см. Результат меньше радиуса шара, что согласуется с тем, что плоскость не проходит через центр.

Типичные ошибки

Ошибка — называть шаром только его поверхность. Так путают объёмное тело и его границу, поскольку в разговоре шаром нередко называют круглую оболочку. Проверьте себя: если рассматриваются внутренние точки, речь идёт о шаре; если только точки на одинаковом расстоянии от центра — о сфере.

Ошибка — считать высоту конуса его образующей. Это происходит потому, что оба отрезка начинаются в вершине, но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая наклонена к ней и приходит на окружность. На рисунке или в условии отметьте конечные точки каждого отрезка и проверьте, где должен быть прямой угол.

Ошибка — брать за радиус цилиндра или конуса отрезок до произвольной точки основания. Радиус круга всегда идёт от его центра до окружности, а не просто от оси или вершины к любой точке. Перед вычислением найдите центр основания и уточните, лежит ли второй конец выбранного отрезка на окружности.

Ошибка — принимать расстояние от центра шара до секущей плоскости за радиус сечения. Расстояние измеряется перпендикуляром к плоскости, а радиус сечения лежит в самой плоскости; поэтому эти отрезки взаимно перпендикулярны и не совпадают. Для проверки постройте прямоугольный треугольник: радиус шара будет гипотенузой, а два других отрезка — катетами.

Связь с другими темами

Для изучения круглых тел понадобятся представления о круге и окружности, их радиусе и хорде, а также свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника. Например, стороны прямоугольника задают высоту и радиус цилиндра, а теорема Пифагора связывает элементы конуса и сечения шара. Умение узнавать круги и прямые углы помогает правильно читать пространственные чертежи.

Круглые тела и их сечения служат основой для дальнейшего изучения геометрии в пространстве. Сначала нужно различать элементы тела и понимать форму сечения, а затем эти сведения используются при вычислении площадей поверхностей и объёмов. Такие умения также помогают разбирать стереометрические задачи, где нужно связать фигуры в пространстве с плоскими чертежами.

Что запомнить

• Цилиндр, конус и шар можно получить вращением плоских фигур.
• У цилиндра два равных круговых основания.
• У конуса одно круговое основание и одна вершина.
• Шар включает внутренние точки; его граница называется сферой.
• Сечение шара плоскостью — круг.
• В осевом сечении конуса получается равнобедренный треугольник.