2.6. Призма, параллелепипед

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две равные многоугольные грани лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани являются параллелограммами. Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Такое определение позволяет узнать призму по устройству всей её поверхности, а не только по внешнему сходству с привычным предметом.

Основания призмы — две равные параллельные многоугольные грани; боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований. Например, если основание — треугольник, у призмы будет два одинаковых треугольника, а между ними расположатся три боковые грани. Разделение граней на основания и боковые помогает описывать форму призмы и считать её элементы.

Боковые рёбра призмы — отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований; все они параллельны и равны. Ребро — сторона многогранника, по которой встречаются две грани. Это свойство боковых рёбер помогает объяснить, почему боковые грани имеют форму параллелограммов.

Параллелепипед — призма, основания которой являются параллелограммами. Значит, у него не только основания, но и боковые грани имеют форму параллелограмма, и всего граней шесть. Это определение помогает увидеть, что параллелепипед — не отдельный от призм вид тела, а особый случай призмы.

Как это устроено

Призму удобно представить как результат параллельного переноса многоугольника: каждую его точку перемещают на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Полученный многоугольник равен исходному и лежит в параллельной плоскости, поэтому они становятся основаниями. Если соединить соответствующие вершины отрезками, эти отрезки будут параллельны и равны; они образуют боковые рёбра призмы.

Возьмём одну сторону первого основания и соответствующую ей сторону второго. Эти стороны равны и параллельны, потому что второе основание получено переносом первого. Соединяющие их боковые рёбра также параллельны и равны друг другу. Поэтому четырёхугольник, составленный из этих двух сторон и двух рёбер, имеет попарно параллельные противоположные стороны — по определению это параллелограмм. Так устроена каждая боковая грань призмы.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований; если перпендикулярности нет, призма наклонная. У прямой призмы боковое ребро можно считать высотой: оно направлено по перпендикуляру между основаниями. У наклонной призмы ребро идёт под углом к основанию, поэтому высота — отдельный перпендикуляр, а боковая грань остаётся параллелограммом, но не обязана быть прямоугольником.

Параллелепипед получается, когда основанием призмы выбран параллелограмм. Боковые грани уже являются параллелограммами по определению призмы, а обе грани-основания — параллелограммы по условию. Поэтому все шесть граней параллелепипеда имеют эту форму. Любой параллелепипед является призмой, но призма с треугольным или пятиугольным основанием параллелепипедом не будет.

У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны: каждая такая пара состоит из одинаковых граней, перенесённых друг к другу. Диагонали параллелепипеда соединяют противоположные вершины, а не соседние вершины одной грани. Их пересечение делит каждую диагональ пополам: если обозначить точку пересечения через O, то для каждой диагонали расстояния от O до двух её концов равны. Однако из этого свойства не следует, что все диагонали имеют одинаковую длину.

Сравнение призмы и параллелепипеда

Сначала сравнивай основания: именно их форма показывает, является ли призма параллелепипедом. Затем учитывай общее устройство боковых граней и рёбер. Последняя строка напоминает, что свойства диагоналей параллелепипеда нельзя автоматически переносить на любую призму.

Разбор задач

Задача 1. В призме основание — пятиугольник. Определите число вершин, рёбер и граней. Число сторон основания обозначим n: здесь n = 5. У призмы два основания, а каждому ребру основания соответствует боковое ребро.

1. В каждом основании по пять вершин, поэтому всего вершин 2n = 2 · 5 = 10.
2. Рёбра состоят из пяти рёбер одного основания, пяти рёбер другого и пяти боковых рёбер. Всего 3n = 3 · 5 = 15 рёбер.
3. Боковых граней столько же, сколько сторон у основания, то есть пять; вместе с двумя основаниями получается 5 + 2 = 7 граней.

Ответ: 10 вершин, 15 рёбер, 7 граней. Проверка: каждому углу основания соответствует вершина и боковое ребро, а число боковых граней совпадает с числом сторон основания.

Задача 2. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 и 4, угол между ними равен 90°, высота равна 5. Найдите длину диагонали. Прямой параллелепипед с прямоугольным основанием — прямоугольный параллелепипед: его три указанных измерения взаимно перпендикулярны. Поэтому пространственная диагональ находится по теореме Пифагора в трёх измерениях.

1. Обозначим длину диагонали через d. Для прямоугольного параллелепипеда d² = a² + b² + c².
2. Подставим значения: d² = 3² + 4² + 5² = 9 + 16 + 25 = 50.
3. Так как длина положительна, d = √50 = 5√2.

Ответ: 5√2. Можно проверить ход решения по смыслу: диагональ должна быть длиннее каждого из трёх рёбер, а 5√2 ≈ 7,1, то есть это условие выполняется.

Задача 3. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагоналями здесь называются отрезки, соединяющие пары противоположных вершин тела. Рассмотрим противоположные вершины A и C₁ и обозначим через O середину этого отрезка.

1. Параллелепипед можно представить как перенос основания ABCD к основанию A₁B₁C₁D₁. Обозначим вектора переноса через v, тогда A₁ = A + v и C₁ = C + v.
2. Диагонали AC и BD основания параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Значит, O — середина AC, а также середина BD.
3. Так как основания перенесены на один и тот же вектор, середины соответствующих диагоналей верхнего и нижнего оснований тоже переносятся на v. У параллелограмма эти середины совпадают, поэтому O лежит на пространственных диагоналях, соединяющих противоположные вершины.
4. Для противоположных вершин X и X₁ их середина находится на половине переноса v от середины соответствующих вершин основания. Следовательно, она совпадает с O, и O делит каждую пространственную диагональ пополам.

Ответ: все диагонали параллелепипеда проходят через одну точку, которая является серединой каждой из них. В доказательстве использованы свойства диагоналей параллелограмма и одинаковый перенос между основаниями.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что боковые рёбра любой призмы перпендикулярны основаниям. Так думают, потому что часто сначала изучают прямые призмы, но перпендикулярность — признак именно прямой призмы. Проверь себя: если в условии сказано только «призма», не добавляй прямой угол без отдельного условия.

Ошибка: называть любую призму параллелепипедом. Внешняя форма тела может сбивать с толку, однако для параллелепипеда обязательны параллелограммные основания. Проверь форму оснований: если это, например, треугольники или пятиугольники, перед тобой не параллелепипед.

Ошибка: путать боковое ребро с высотой призмы. В прямой призме они совпадают по длине, поэтому это свойство иногда ошибочно переносят на наклонную. Высота всегда измеряется перпендикулярно между плоскостями оснований; у наклонной призмы боковое ребро направлено иначе.

Ошибка: считать, что диагонали любой призмы пересекаются и делятся пополам. Это свойство знакомо по параллелограмму и параллелепипеду, но общего основания для такого вывода у произвольной призмы нет. Сначала проверь, что речь именно о параллелепипеде, и только после этого используй свойство его диагоналей.

Связь с другими темами

Для изучения призм нужны знания о многогранниках и многоугольниках, а также о параллельных прямых и плоскостях. Свойства параллелограмма помогают объяснить устройство боковых граней и поведение диагоналей параллелепипеда. В дальнейшем призмы и параллелепипеды используют при вычислении площадей поверхностей и объёмов многогранников. Их также изучают в задачах на сечения, где важно понимать, как плоскость пересекает грани тела.

Что запомнить

• Основания призмы равны и параллельны.
• Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• Параллелепипед — призма с параллелограммами в основаниях.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся пополам.