"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Правильная пирамида — это пирамида с правильным многоугольником в основании и высотой, проходящей через его центр. Благодаря симметрии её боковые грани равны, а их высоты-апофемы одинаковы. Это позволяет находить площадь боковой поверхности по периметру основания и апофеме, а также связывать высоту пирамиды с её апофемой через теорему Пифагора. Эти свойства помогают решать задачи на площади и объёмы многогранников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через центр основания. Это значит, что основание симметрично относительно точки, над которой расположена вершина. Определение помогает отличить правильную пирамиду от произвольной и применять свойства равенства её элементов.
Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Она лежит внутри грани и заканчивается на стороне основания под прямым углом. Апофема нужна, чтобы находить площади боковых граней и всей боковой поверхности.
Ось правильной пирамиды — прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр основания. Она содержит высоту пирамиды, поскольку высота опускается из вершины именно в этот центр. Ось помогает описывать симметрию пирамиды и выбирать удобное сечение для решения задачи.
Боковая поверхность правильной пирамиды — совокупность всех её боковых граней, без основания. Её площадь обозначают Sбок; площадь полной поверхности включает ещё и основание: Sполн = Sбок + Sосн. Это различие важно, потому что в задаче могут просить площадь только боковых граней или всей поверхности.
У правильного многоугольника есть центр, равноудалённый от всех его вершин. Вершина правильной пирамиды расположена на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через этот центр, потому что именно так высота проходит через центр основания. Проекции всех боковых рёбер на основание имеют одинаковую длину, поэтому каждое ребро одинаково наклонено к плоскости основания. Это свойство относится к правильной пирамиде, а не к любой пирамиде.
Центр правильного основания одинаково удалён от его вершин, поэтому прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды и отрезками от центра к вершинам, равны. Их гипотенузы — боковые рёбра — имеют одинаковую длину. В правильном многоугольнике стороны равны, следовательно, боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высоты этих равных граней, опущенные из общей вершины пирамиды, тоже равны и называются апофемами пирамиды.
Возьмём сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину его стороны. В боковой грани апофема пирамиды l идёт от вершины к середине стороны, а апофема основания r — от центра основания к той же середине. Высота h перпендикулярна плоскости основания и потому перпендикулярна отрезку r. Получается прямоугольный треугольник, где l — гипотенуза; по теореме Пифагора l² = h² + r², то есть l = √(h² + r²).
Площадь каждой боковой грани равна половине произведения стороны основания на апофему пирамиды. Все такие грани имеют одну и ту же высоту l, поэтому их площади можно сложить, вынеся общий множитель ½l. Сумма сторон основания — это его периметр P, откуда Sбок = ½Pl. Формула удобна тем, что вместо подсчёта площади каждой грани достаточно знать периметр основания и апофему.
Объём пирамиды вычисляют по формуле V = ⅓Sоснh, где Sосн — площадь основания, а h — высота. Множитель ⅓ появляется потому, что пирамида составляет треть объёма призмы с таким же основанием и той же высотой. Для вычисления нужны именно площадь основания и перпендикулярная высота, а не боковая поверхность или апофема пирамиды. Правильность основания здесь не обязательна: формула объёма действует для любой пирамиды.
| Что рассматриваем | Обозначение | Определение или формула |
|---|---|---|
| Высота пирамиды | h | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания |
| Апофема основания | r | Расстояние от центра основания до его стороны |
| Апофема пирамиды | l | Высота боковой грани |
| Связь высоты, апофемы основания и апофемы пирамиды | h, r, l | l² = h² + r² |
| Площадь боковой поверхности | Sбок | Sбок = ½Pl |
| Площадь полной поверхности | Sполн | Sполн = Sосн + Sбок |
| Объём | V | V = ⅓Sоснh |
Сначала определите, какой элемент требуется найти, и отметьте известные величины. Для перехода между высотой и апофемами используйте прямоугольный треугольник, а для поверхностей и объёма — соответствующие формулы. Проверяйте, что в формуле стоят нужные величины: например, для боковой площади нужен периметр, а для объёма — площадь основания.
Задача 1. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота — 4. Найдите апофему пирамиды. Основание — квадрат, поэтому его центр равноудалён от сторон, а апофема основания идёт к середине стороны. Сначала найдём этот отрезок, затем применим теорему Пифагора.
Задача 2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8, апофема пирамиды — 5. Найдите площадь боковой поверхности. У основания три равные стороны, поэтому его периметр равен 3 · 8 = 24. Каждая боковая грань имеет высоту 5, а сумму их площадей можно выразить через общий периметр.
Задача 3. Основание правильной четырёхугольной пирамиды имеет сторону 10, высота пирамиды равна 12. Найдите площадь полной поверхности и объём. Чтобы найти боковую площадь, сначала нужна апофема пирамиды; для квадрата апофема основания равна половине стороны. Затем отдельно найдём площади основания и боковой поверхности, а для объёма используем высоту 12.
Считать, что высота любой пирамиды проходит через центр основания, — неверно: это специальное свойство правильной пирамиды. Ошибка возникает из-за переноса свойства симметричного тела на произвольное. Перед использованием свойства проверьте, сказано ли в условии, что пирамида правильная.
Путать апофему с боковым ребром — значит подменять высоту боковой грани отрезком до вершины основания. Такое смешение легко возникает, потому что оба отрезка выходят из вершины пирамиды. Проверьте конечную точку: апофема приходит к стороне основания под прямым углом, а ребро — к вершине основания.
В формуле Sбок = ½Pl подставлять площадь основания вместо периметра или забывать ½ — ошибка в выборе данных либо в формуле площади треугольника. Периметр складывается из длин сторон и имеет единицы длины, а площадь основания — квадратные единицы. Для проверки проследите, что результат Sбок выражен в квадратных единицах и множитель ½ учтён.
В формуле объёма использовать площадь полной поверхности вместо площади основания или забывать множитель ⅓ нельзя. Это бывает, когда формулы поверхности и объёма запоминают без различения их назначения. Сверьте запись V = ⅓Sоснh: в ней стоят площадь только основания и высота, а ответ должен иметь кубические единицы.
Для изучения правильной пирамиды нужны определения пирамиды и правильного многоугольника, понятия высоты и площади многоугольника, а также теорема Пифагора. Эти знания помогают находить апофемы и площади граней. Позже свойства пирамиды пригодятся в задачах на площадь поверхности и объём тел, а также при изучении пространственных сечений и расстояний в многогранниках. Поэтому важно уметь выбирать сечение, в котором пространственная задача превращается в плоскую.
Чем правильная пирамида отличается от произвольной?
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Поэтому её боковые рёбра и боковые грани равны. У произвольной пирамиды эти свойства не обязаны выполняться.
Где находится основание высоты правильной пирамиды?
Основание высоты находится в центре правильного многоугольника основания. Этот центр равноудалён от всех его вершин. Поэтому боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания.
Чем апофема пирамиды отличается от бокового ребра?
Апофема — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания. В общем случае апофема и ребро имеют разную длину.
Как найти апофему пирамиды, если известны её высота и основание?
Найдите апофему основания — расстояние от его центра до стороны. Затем примените теорему Пифагора: апофема пирамиды l = √(h² + r²), где h — высота, а r — апофема основания. Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник.
Почему в формуле объёма пирамиды есть множитель одна треть?
Пирамида с данным основанием и высотой занимает треть объёма призмы, у которой такое же основание и такая же высота. Поэтому её объём равен V = ⅓Sоснh. Множитель ⅓ относится к объёму любой пирамиды, а не только правильной.
2.5. Правильная пирамида
